可以先把這個圖形旋轉一下，然後成為下圖：
這個時候，由於各種的對稱性，我們只需要求出 A_{1} 和 A_{2} 的面積，然後乘以 4 就是總的陰影面積。
可以看到裏面有一個 小圓 ，一個 大圓 。基於小圓是 \left( x-5 \right)^{2}+\left( y-5 \right)^{2}=25 和大圓是 \left( x-10 \right)^{2}+\left( y-10 \right)^{2}=100 ，我們就知道我們需要的曲線是：
· 小圓的曲線： y=5-\sqrt{25-\left( x-5 \right)^{2}} ，記為 f_{1} ；
· 大圓的曲線： y=10-\sqrt{100-\left( x-10 \right)^{2}} ，記為 f_{2} ；
· 直線 l ： y=x ，記為 f_{3} .
也即是此圖所示：
這時，我們要求出圖中的三個 交點 ，只需要它們的 x 座標，可知分別是：
d_{1}=\frac{5\left( 2-\sqrt{2} \right)}{2} ； d_{2}=5\left( 2-\sqrt{2} \right) ； d_{3}=\frac{5\left( 3+\sqrt{7} \right)}{4} .
那麽則知， A_{1}=\int_{d_{1}}^{d_{2}}\int_{f_{1}}^{f_{3}}1dydx ； A_{2}=\int_{d_{2}}^{d_{3}}\int_{f_{1}}^{f_{2}}1dydx .
因此，我們可以求出：
A_{1}=\frac{100\left( \left( 1-\sqrt{2} \right)\sqrt{2\sqrt{2}-2}+\arcsin\left( 1-\sqrt{2} \right)+1 \right)+25\pi}{8}-25\left( \sqrt{2}-1 \right)
A_{2}=\frac{25\left( \left( \sqrt{2}-1 \right)\sqrt{2\sqrt{2}-2}-\pi-3+\arcsin\left( \sqrt{2}-1 \right)+\arcsin\left( \frac{\sqrt{7}-1}{4} \right) \right)}{2}\\+\frac{25\left( 4\sqrt{2}+7 \right)}{4}+50\arcsin\left( \frac{5-\sqrt{7}}{8} \right)
那麽就知道： A_{總的陰影面積}=4\left( A_{1}+A_{2} \right) 。
這個 A_{1} 大約是： A_{1}\approx1.911045844650894 ；
這個 A_{2} 大約是： A_{2}\approx5.408017131866497 ；
保留 10 位小數，則 A_{總的陰影面積}\approx 29.2762519061 .
