謝邀。
我個人的理解：數學的邏輯根基雖然會回溯到公理，但是數學裏面真正精彩的地方，還是在於中間的推導過程、計算過程。公理和定理不過是一個個點，真正重要的是把他們連線起來的橋梁。數學裏面一個定理之所以重要，往往不是因為他本身的陳述多麽重要，而是因為由他出發的橋梁比較多。而怎麽去搭橋，這就需要各種天才的數學idea，也包括題主提到的直覺——直覺在數學裏面是個很寶貴很重要的東西，優秀的數學家往往不僅有強大的數學推理能力，也有敏銳的數學直覺，碰到一個還沒解決的問題，他們大概能感覺到解決問題的方向在哪裏，哪些方向成功的可能性大，哪些方向的可能性小。
其實對前沿的數學分支，往往是在發展完善以後才會被公理化的。因為你一開始提出的定義，公理，可能並不完整，並不能包含很多有意思的情形。往往是數學家發現了很多有意思的結論——在此過程中他們可能不斷修改某個數學概念的定義，使這個概念越來越準確、或者越來越廣義——然後發現這些結論之間構成一個系統性的知識網路，然後他們開始簡化整個邏輯體系，抽象出幾條基本的公理來描述整個體系，也就是所謂的「公理化」。比如拓撲學，拓撲學絕對不是一開始就有拓撲空間的三條公理的，連續函式也不是定義成「開集的逆是開集」這種比較廣義的形式的。一開始人們並沒有拓撲空間的定義，後來人們發現了越來越多的拓撲空間和連續函式的例子，比如區間、曲線、曲面、流形等等，才覺得這些東西都有共同的特點，於是就總結出拓撲空間的三條公理來描述這些共同的特點（也要得益於20世紀初出現的集合論的語言使得數學家有條件寫出這三條公理），總結出一般的連續函式的定義。然後拓撲學裏面同調論的公理體系也是個例子。一開始人們只是研究各種具體的同調，後來才總結出同調就是滿足某幾條性質的拓撲空間範疇上的一族函子，也就是同調的公理化定義。
