這是我大學剛開始學量子力學也曾感到困惑的問題，在多年的學習積累之後，我才明白。解決這個問題的同時，你也就解決了為什麽初等量子力學課程中的薛丁格方程式都是「猜」出來的？不猜就得不到薛丁格方程式嗎？有沒有不猜就能得到薛丁格方程式的方法（詳見文末）。
很多新人可能一開始有這個疑惑的時候，甚至不知道這到底是數學問題還是物理問題，也就是說這個現象是量子力學特有的嗎？首先，這個問題的答案是，這是純粹的數學問題。當量子力學假定粒子的機率振幅可以用薛丁格方程式（註意它是微分方程式）描述的時候，就已經暗藏了可以用線性代數理論描述的可能性。邏輯如下：
1.任何線性微分方程式的所有解構成一個線性空間
這一點任何學過高等數學中的微分方程式問題就已經明白，讓我們隨便拿一個微分方程式出來（不如用一個通式），任意線性微分方程式可以表達為如下形式：
{\bf{L}}\Psi=0 \tag{1}
例如，薛丁格方程式 i\frac{\partial{\Psi}}{\partial t}={\bf H}\Psi (取自然單位 \hbar=1 ,這是個偏微分方程式，我們首先要分離變量)分離變量後得到哈密頓算符的本征方程式 {\bf H}\Psi=E\Psi ,其中，左邊為算符方程式，右邊 E 為本征值，也就是說右邊是一個數位乘上函式 \Psi ,在這個特例之中，（1）式中的 \bf L 帶入 {\bf H}-E 的具體運算式就可以了。要得到上述的結論，只需要看到假設有兩個函式 \Psi_1,\Psi_2 都滿足方程式（1），即
{\bf{L}}\Psi_1=0 \ and \\
{\bf{L}}\Psi_2=0 \\
那麽， \Psi_1,\Psi_2 的任意線性組合都是（1）的解，即(式中 a,b 為任意復數)
{\bf{L}}（a\Psi_1+b\Psi_2）=a{\bf{L}}\Psi_1+b{\bf{L}}\Psi_2=0\\
這不禁讓我們想起線性空間的定義，所謂的線性空間只是一個滿足特定條件的集合，去搜尋線性空間的定義大概會得到如下的結果：
Rough Definition. （Vector space）A vector space \bf V is a set of elements in which for every two elements \bf a,b\in V , any linear combination of them is also an element of the set, that is c_1{\bf a}+c_2{\bf b}\in {\bf V} , where c_1,c_2 is numbers of a field.
當然，如果要詳細描述，就要說「在此集合上引入一種運算，將2個元素對映到第三個元素...」，或者還要定義0元素，滿足其與任何元素相加不改變該元素，好了，我們不要去在意這些細節（你可能需要去查一下復線性空間的嚴格定義），重點是你應該已經發現，這個定義正好就是任何線性微分方程式的解所滿足的條件（取 a,b 數體為復數體），因此它們整體的集合構成一個線性空間（vector space），因此我們說，當你認為線性微分方程式薛丁格方程式的解可以描述物理態時，就已經暗示了它的解是某個線性空間中的元素（事實上，物理態要求機率不大於1，因此滿足實際條件的解只是「長度（模）」為1的向量集合，這些向量構成薛丁格方程式解空間中的一個半徑為1的球面）。
2. 任何線性算符等價於解空間中的線性變換
那麽線性算符（Operator）例如哈密頓算符在這個理論中又代表著什麽呢？答案是，它表示了一種線性變換（Linear transformation），所謂的線性變換就是將線性空間中的任意元素變成另外一個元素的對映，其需要滿足的條件是 {\bf{T}}（a\Psi_1+b\Psi_2）=a{\bf{T}}\Psi_1+b{\bf{T}}\Psi_2 , 顯然哈密頓算符是滿足這個條件的，這是被微分運算的線性所保證的。線上性代數中，我們學過對於有限維的線性空間，取定一組基後，向量可以表示成陣列，而線性變換可以表示成矩陣，對於微分方程式理論，熟悉量子力學的人應該知道，薛丁格方程式的解構成的空間是無窮維的，我們稱之為某個Hilbert空間，換句話說可以有無窮個基向量。
為了更清楚地看到這一點，我們對上述薛丁格方程式的解空間進行分解，假定薛丁格方程式解的空間 \bf V_s 中可以找到一組基向量 | \Psi_n \rangle (在這裏我們開始使用Dirac符號,為了強調解是向量，我們用這種特殊的表達讓它看起來像是個箭頭) ,對於任意解空間中的向量都可以表示成上述基的線性組合，即
|\Psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n|\Psi_n\rangle}\tag{2}
Remark. 基失滿足正交歸一化條件（orthogonality） \langle \Psi_m|\Psi_n\rangle=\delta_{mn} , delta函式為1（ m=n ）或0( m\neq n ). 如果你對Dirac symbol有疑問，可以參考
任意算符，例如哈密頓算符作用在其上得到的結果是
{\bf H}|\Psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n{\bf H}|\Psi_n\rangle}\tag{2'}
如果我們使用一個技巧，叫做completeness relation,即 \sum_{m=0}^{\infty}|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|=1 ,這個關系只是說任何向量都能分解為這組基的線性組合，因為 |\Psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}|\Psi_n\rangle\langle \Psi_n|\Psi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n|\Psi_n\rangle}
只要我們定義 c_n=\langle \Psi_n|\Psi \rangle=\langle \Psi|\Psi_n \rangle^\ast 即可(註意復空間的內積定義需要滿足共軛條件)。
將completeness relation套用到（2'）式的左式並對其與 |\Psi_n\rangle 做內積得
\langle\Psi_n|{\bf H}|\Psi\rangle=\sum_{m=0}^{\infty}\langle\Psi_n|{\bf H}|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\Psi\rangle\tag{3}
定義 {\bf H_{nm}}= \langle\Psi_n|{\bf H}|\Psi_m\rangle= \langle\Psi_m|{\bf H}|\Psi_n\rangle^\ast ，同時使用之前對 c_n 的定義，重新整理（3）式得
\langle\Psi_n|{\bf H}|\Psi\rangle=\sum_{m=0}^{\infty}{\bf H_{nm}}c_m \tag{4}
將 {\bf H}|\Psi\rangle 看作一個向量 |\Phi\rangle 的話，上式左邊根據 c_n 的定義即為 c(|\Phi\rangle)_n , 所以（4）其實是
c(|\Phi\rangle)_n=\sum_{m=0}^{\infty}{\bf H_{nm}}c_m\\
不知此式是否喚起了你線性代數中矩陣運算的記憶，它其實可以寫成
\left[ \begin{array}{cc} c(|\Phi\rangle)_1\\ c(|\Phi\rangle)_2\\ \vdots \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} h_{11}&h_{12}\ldots\\ h_{21}&h_{22}\ldots\\ \vdots & \ddots \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} c_1\\ c_2\\ \vdots \end{array} \right] \\
使用這種取定一組基失表示出來的微分方程式形式被稱作representation of operator(譯為表示，某些中文量子力學中稱之為表象)，對於本征方程式 {\bf H}\Psi=E\Psi 在這組基下則表示成
\left[ \begin{array}{cc} h_{11}&h_{12}\ldots\\ h_{21}&h_{22}\ldots\\ \vdots & \ddots \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} c_1\\ c_2\\ \vdots \end{array} \right] =E \left[ \begin{array}{cc} c_1\\ c_2\\ \vdots \end{array} \right] \\
接下來的問題當然就是求其本征值，至少上式在形式上與有限維的線性空間理論中的矩陣本征方程式相似，只不過它是無窮維的，對於此類問題，其實是在問，對於Hilbert空間中的算符，是否存在一系列本征值以及一組本征向量使其滿足上述本征方程式，這個問題的結論在數學中被稱作spectrum theorem（譜定理），關於研究譜的理論據說是泛函分析的內容，對此我現在還沒有學到，所以就不再用一些道聽途說的資訊來誤導你了（這部份留待將來有機會再補充），結論是任何線性微分方程式對應的算符確實存在確定的譜，比如哈密頓算符的能譜，動量算符的連續譜以及角動量算符的本征譜，對此想要有深入研究的同學建議自學泛函分析。
Remark. 最後要補充的一點就是，對於（2）式中的抽象表達方式，原來的微分方程式其實是（2）式在特定基失上的表示，比如取定座標本征態 |x\rangle ，則波函式 \phi(x)=\langle x|\Psi\rangle , 而哈密頓量則變成了微分運算，算符變成微分運算是譜連續時的特殊情況，就像求和在變量連續情況下變成積分，連續時求和變量的變化本身就與微分密切相關，更多細節請參考Feynman Lectures on Physics卷3或J.J.Sakurai Modern Quantum Mechanics。
這裏僅給出連續譜下（4）式的對應:
不用猜，你就能得到薛丁格方程式
通常我們在剛開始學習量子力學的時候，為了簡單地讓大家快速學習QM的計算技巧，感受到QM的用處，都常用「猜」來引出薛丁格方程式。
其方法核心是 p_i\rightarrow -i\hbar \frac{\partial}{x_i}\\ H \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}\\
但不是每個人都能接受這種討巧卻不嚴謹的論證。在我們已經看到上述線性空間與微分方程式之間的聯系的背景下，我們可以用一種純粹代數的方法來匯出薛丁格方程式。
對任意態 |\alpha,t\rangle ,在一段時間 dt 後系統變成了態 |\alpha,t+dt\rangle ,我們想要知道系統是如何從前者變到後者，運動方程式即是用來描述這種變化過程的。我們已知態是某希爾伯特空間中的向量，態變化自然可以寫成一個算符對其對映，即 |\alpha,t+dt\rangle=U(t+dt,t)|\alpha,t\rangle\\
態如何變化實際上等價於算符 U 具體形式是什麽的問題。
我們首先來觀察一下 U 有哪些性質：
- U(t,t)=1 ,因為這相當於沒有給系統變化的時間 dt .
- U(t_2,t_1)U(t_1,t)=U(t_2,t) ,因為當態從 t 變化到 t_1 再變化到 t_2 後,相當於它從 t 直接變化到 t_2 ,這是時間的連續性保證的.
- U(t_2,t_1)^\dagger U(t_2,t_1)=1 , 1 是單位算符.這條是由於 \langle \alpha,t_2|\alpha,t_2\rangle=\langle \alpha,t_1|U(t_2,t_1)^\dagger U(t_2,t_1)|\alpha,t_1\rangle=\langle \alpha,t_1|\alpha,t_1\rangle=1 ,因為測量任何態出現它自己的機率總是100%.
根據第1條，如果 dt 足夠小， U(t+dt,t) 一定趨近於 1 ，我們可以認為它在 t 附近的增量為 dt 的一階小量或者更高階小量，但我們先嘗試一階，即
U(t+dt,t)=1-\frac{i}{\hbar}H(t)dt \tag{5}
式中 -\frac{i}{\hbar} 的出現只是一種習慣，增加的常數只是改變了我們對算符 H 的定義而已（你也可以直接定義 -\frac{i}{\hbar}H=K ），這種定義能夠保證 H 是厄米算符並且具有能量的因次。
將 (5) 代入2和3就能發現上述定義直接滿足性質2，3，若認為 U(t+dt,t) 只有二階以上小量，則無法保證性質2.
接下來，我們利用上面的性質推導：
|\alpha,t+dt\rangle-|\alpha,t\rangle=(U(t+dt,t)-1)|\alpha,t\rangle\\
將上式左邊的 |\alpha,t+dt\rangle 作為 t 的函式進行一階級數展開得到
|\alpha,t\rangle+\frac{\partial}{\partial{t}}|\alpha,t\rangle dt-|\alpha,t\rangle=(U(t+dt,t)-1)|\alpha,t\rangle\\
上式右邊用 (5) ，左邊抵消得到
\frac{\partial}{\partial{t}}|\alpha,t\rangle dt=-\frac{i}{\hbar}H(t)|\alpha,t\rangle dt\\
或約掉 dt 即得 薛丁格方程式
i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}|\alpha,t\rangle=H(t)|\alpha,t\rangle\\
上式只是一個抽象的代數方程式，因為 H(t) 的具體形式還不知道，但已經可以看到薛丁格方程式本身並不需要「猜"，而是有更本質的代數性質。透過對量子態的討論以及對平移對稱性，旋轉對稱性等的討論，我們可以構造出更多算符，如動量算符和角動量算符，並且匯出其對易關系。然後透過對連續本征值的討論，我們可以得到在座標本征態為基失情況下的薛丁格方程式的具體形式（此即前文所描述的代數方程式向微分方程式轉化的方法），則可得到初等量子力學中學到的微分方程式形式的薛丁格方程式。
仍然值得註意的是，Wigner曾在【非齊次勞侖茲群的不可約么正表示】中提到的，這種從對稱性出發的代數方法僅僅可以部份替代微分方程式，但有一點它無法替代，即算符與算符之間的關系。上述推導中有一個問題，就是哈密頓算符和動量算符以及勢能算符之間的經典關系無法透過對稱性的討論找到，仍然只能借用經典的概念。不用猜也只是形式上的，對於能量等於動能加勢能的關系，仍然是從經典借過來的。
本文只介紹大概思路，完整的過程及套用，請看費曼物理學講義第3卷或櫻井的現代量子力學。
