谢邀。
我个人的理解：数学的逻辑根基虽然会回溯到公理，但是数学里面真正精彩的地方，还是在于中间的推导过程、计算过程。公理和定理不过是一个个点，真正重要的是把他们连接起来的桥梁。数学里面一个定理之所以重要，往往不是因为他本身的陈述多么重要，而是因为由他出发的桥梁比较多。而怎么去搭桥，这就需要各种天才的数学idea，也包括题主提到的直觉——直觉在数学里面是个很宝贵很重要的东西，优秀的数学家往往不仅有强大的数学推理能力，也有敏锐的数学直觉，碰到一个还没解决的问题，他们大概能感觉到解决问题的方向在哪里，哪些方向成功的可能性大，哪些方向的可能性小。
其实对前沿的数学分支，往往是在发展完善以后才会被公理化的。因为你一开始提出的定义，公理，可能并不完整，并不能包含很多有意思的情形。往往是数学家发现了很多有意思的结论——在此过程中他们可能不断修改某个数学概念的定义，使这个概念越来越准确、或者越来越广义——然后发现这些结论之间构成一个系统性的知识网络，然后他们开始简化整个逻辑体系，抽象出几条基本的公理来描述整个体系，也就是所谓的「公理化」。比如拓扑学，拓扑学绝对不是一开始就有拓扑空间的三条公理的，连续函数也不是定义成「开集的逆是开集」这种比较广义的形式的。一开始人们并没有拓扑空间的定义，后来人们发现了越来越多的拓扑空间和连续函数的例子，比如区间、曲线、曲面、流形等等，才觉得这些东西都有共同的特点，于是就总结出拓扑空间的三条公理来描述这些共同的特点（也要得益于20世纪初出现的集合论的语言使得数学家有条件写出这三条公理），总结出一般的连续函数的定义。然后拓扑学里面同调论的公理体系也是个例子。一开始人们只是研究各种具体的同调，后来才总结出同调就是满足某几条性质的拓扑空间范畴上的一族函子，也就是同调的公理化定义。
