这些个奇形怪状的素数公式, 无非就是一个命题/定理中找出一个断言, 然后用谓词重写这个断言, 然后用数学符号重写这些谓词.
Willson 定理p>1 是素数, 当且仅当 (p-1)!=-1\bmod p , p=1 时同样满足此关系.
注: Willson 定理是 1 被踢出素数的受害者, 当时提出的时候可是不用对1特殊处理的...
所以对于素数和1, 我们可以下断言: \frac{(x-1)!+1}{x}\in \mathbb{Z}
换个表述也就是说:
如果 x\in \mathbb{P}\cup\{1\} , 那么 \frac{(x-1)!+1}{x} 就除的尽, 反之合数就除不尽.我们给他配个有界函数, 比如 \cos^2(x) , 然后调整下周期, 让它只有在断言成立的时候能取到最大值1
不成立的时候下取整变成0就行, 与是我们得到了一个万能的判定素性的布尔函数:
\mathtt{isPrime}(x) = \left\lfloor \cos^{2} \frac {(x - 1) ! + 1} {x}\pi \right\rfloor =\begin{cases} 1, x\in \mathbb{P}\cup\{1\}\\ 0, \mathrm{others} \end{cases}然后对所有小于 n 的自然数判断一遍加起来就能得到计数函数:
\mathtt{countPrime} (n) = \sum_{x = 1}^{n} \mathtt{isPrime}(x)- 1计数记得去掉1个, 1 现在规定它不是素数.
这个函数解析数论里常记作 \pi(x) .
给定自然数 n , 满足 \pi(m)<n 的数的数量就是 p_n -1 .
啊, 讨厌的 1...同理我们构造真值函数和计数函数, 最后得到素数公式:
p_{n} = 1 + \sum_{m = 1}^{\infty} \mathrm{isLess}(\pi (m) , n)然后问题转化为怎么消掉这些个谓词.
然后这个无穷大也得消了, 不然就不叫公式(封闭解)了...
接下来要用到一些素数密度的估计.
对于任意自然数 n
和 2n
之间至少有一个素数.
也就是说小于等于 2^n
的素数至少有 n
个.
于是我们可以把这个无穷大消掉了, 换成 2^n
, 后面的求和都是 0 了不用管.
另一方面, Willans 发现了一个非常巧妙的真值函数:
\mathtt{isLess}(x , y) = \left\lfloor \sqrt[ y ] {\frac {y} {1 + x}} \right\rfloor =\begin{cases} 1, x<y\\ 0, x\geqslant y \end{cases}
由此才得到了完全由初等函数和有限和的 Willans 素数公式
综上所示: p_n = 1 + \sum_{m = 1}^{2^{n}} \left\lfloor \sqrt[ n ] {\frac {n} {1 + \pi (m)}} \right\rfloor
比 2^n 更好的界也是有的, 我们不去管他, 接下来把 \pi(x) 也替换掉, 最终得到:
p_{n}=1+\sum_{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor\left(\frac{n}{\display style 1+\sum_{j=1}^{m}\left\lfloor\cos^{2}\frac{((j-1)!+1)\pi}{j}\right\rfloor}\right)^{1/n}\right\rfloor
Quite Easily Done!
