这个问题蛮有趣的。从数学的角度来说，我的第一感与 @Rochel1i 最后一段一致。设 B_2\subseteq \mathbb{R}^2 是半径为2的圆盘， \Gamma 是 \mathbb{R}^2 中所有可求长的曲线的集合， \mathcal{L} 是 \mathbb{R}^2 中所有可求面积且边界可求长的点集的集合， s:\Gamma\to \mathbb{R} 把曲线映到其长度， \partial:\mathcal{L}\to \Gamma 把图形映到其边界（这样 C:=s\circ \partial:\mathcal{L}\to \mathbb{R} 就是把图形映到其周长的映射）， A:\mathcal{L}\to \mathbb{R} 是把图形映到其面积的映射，则 A(B_2)=C(B_2) ，即 B_2 的面积等于 B_2 的周长。就像现在我这个回答的评论区中讨论一样，从数学的角度是可以比较 B_2 的面积与周长的，因为它们都是实数，而实数是可以比较的。
这么说在物理上看起来是很奇怪的，因为我们知道面积与周长不能「相等」。那么问题出在哪里呢？主要是，上面定义的映射 A 与 C 都是映到 \mathbb{R} 的，也就是之前所说的面积和长度在数学中的标准定义都是一个实数，其类型是相同的（回顾 s 与 A 在数学中的标准定义： s 定义为曲线上折线段长度之和的上确界，故映到的值是一个实数； A 就单纯是一个Lebesgue测度，只不过是限制在 \mathcal{L} 上的，因此映到的值也是实数）。但是看看实数集 \mathbb{R} 这个东西，它本身并不带有「量纲」这个结构，所以数学上周长与面积的「标准定义」没法描述「量纲」这个概念。
那么，如何在数学上去描述「量纲」这个结构呢？或者具体而言，如何重新定义，使得面积和长度是两个类型不同的东西，也即不要让面积和长度只是一个单纯的实数，而是要附加额外的结构？一种办法是将面积与长度人为隔离开。比如，将 \mathbb{R} 改造成 \mathbb{R}^2 ，然后让第一个分量代表长度，第二个分量代表面积，然后上面提到的 s,A,C 这些映射都改成映到 \mathbb{R}^2 的。在这种定义下， A(B_2)=(0,4\pi) ， C(B_2)=(4\pi,0) 。我们很高兴地看到，此时 A(B_2)\ne C(B_2) ，即 B_2 的面积不等于 B_2 的周长。
当然这个方法看起来好像有点愚蠢，因为面积和长度其实不是完全不同，它们本质上是同源的，即面积是具有长度的平方这个量纲的。我们最好将本质上不同的量纲隔离开，然后想出一种方法自动组合出这些量纲的平方、立方等乘积。事实上， 题主给出的陶哲轩的那篇博客给出了这样的「量纲结构」的构造 。比如 M_1,\cdots,M_n 是事先选出的基本量纲（物理中 n=7 ），先按照上述方法把这 n 个量纲隔离开，即 V=\mathbb{R}^n=\bigoplus_{i=1}^n V_i ，其中 V_i 是 V 的一维线性子空间，对应量纲 M_i 。然后令 V_i 的对偶空间 V_i^* 对应 M_i^{-1} 这个量纲。定义 V_i^{\otimes k }=\begin{cases} V_i\otimes \cdots \otimes V_i (k\text{ times}) & \text{if }k\geq 0 \\ V_i^*\otimes \cdots \otimes V_i^* (-k\text{ times}) & \text{otherwise} \end{cases} 。然后定义 (k_1,\cdots,k_n) 型「含量纲值」为 \bigotimes_{i=1}^n V_i^{\otimes k_i} 中的张量，它对应 \prod_{i=1}^n M_i^{k_i} 这个量纲。两个含量纲值相乘定义为其张量积，但不同型的含量纲值不定义其加法。 在这种定义下，假如说把 M_1 看成长度这个量纲，则 C(B_2)\in V_1 （也即是 V_1 的一个元素）而 A(B_2)\in V_1\otimes V_1 （也即是一个双线性映射 V_1\times V_1\to\mathbb{R} 的对偶映射，根据张量的某一种构造）。我们高兴地发现， A(B_2)\ne C(B_2) ，即面积与周长不相等，因为连类型都不一样。
