演示一下如何从高中学过的几个电磁场的实验定律构建出麦克斯韦方程组吧，希望对你将来学物竞的电磁学有帮助。
在开始之前，先介绍两个概念：
① \nabla\cdot
这个符号叫
散度
，把它作用到一个矢量上会得到一个标量， \nabla\cdot\vec a=b
，含义是：空间中有一个点源 b
产生了 \vec a
这个矢量场，如果 b<0
则它产生的 \vec a
的方向朝向 b
，反之则背离 b
。
② \nabla\times
这个符号叫
旋度
，把它作用到一个矢量上会得到一个另一个矢量， \nabla\times\vec a=\vec b
，含义是：空间中有一个矢量源 \vec b
产生了绕它旋转分布的矢量场 \vec a
，旋转方向按右手定则确定。
一、库仑定律
库仑定律：
俩带电荷物体之间存在平方反比的静电力
， \vec F=\frac{Qq}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec r}{r^3}
考虑到电场的定义 \vec E\equiv\vec F/q
以及电荷的密度定义 Q\equiv\int_V\rho\mathrm dV
我们可以把库仑定律改写成： \vec E=\int_V\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV
现在把两边同时作用一个散度算符：
\nabla\cdot\vec E=\int_V\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\nabla\cdot\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\oint_S\frac{\vec r\cdot\mathrm d\vec S}{r^3}
最右边这个曲面积分是个立体角积分， =4\pi
，所以最终我们得到：
① \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
这就是麦克斯韦方程组的第一个方程，其含义是：
如果空间中有电荷 \rho
，那它就会作为一个点源激发出电场 \vec E
.
二、电磁感应定律
电磁感应定律：
一个回路中磁通量变化会导致此回路产生电动势
， \mathcal E=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_S\vec B\cdot\mathrm d\vec S
考虑到电动势定义 \mathcal E=\oint_L\vec E\cdot\mathrm d\vec L
这个式子可以用斯托克斯公式改写为： \mathcal E=\int_S\nabla\times\vec E\cdot\mathrm d\vec S
代回到电磁感应定律里面就能得到：
② \nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t
这就是麦克斯韦方程组的第二个方程，其含义是：
如果空间中有一个随时间变化的磁场 \vec B
，那么就会绕着这个磁场产生旋转分布的电场 \vec E
.
三、毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律：
通电导线周围会按右手定则产生磁场
， \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec J\times\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\int_V\frac{\vec J}{r}\mathrm dV
因为 \nabla\cdot(\nabla\times\vec a)=0
所以把上式两边同时作用一个散度算符得到：
③ \nabla\cdot\vec B=0
这就是麦克斯韦方程组的第三个方程，其含义是：
不存在可以产生磁场的点源，即没有磁单极子
。
如果是把等式两边同时作用一个旋度算符的话，那么
\nabla\times\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V[\vec J(\nabla\cdot\frac{\vec r}{r^3})-(\vec J\cdot\nabla)\frac{\vec r}{r^3}]\mathrm dV
其中第一项积分 =4\pi
，第二项积分为0，所以最终我们得到：
\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J
这是毕奥-萨伐尔定律的另一种表达形式，通常称为
安培环路定则
。
四、电荷守恒定律
电荷守恒定律：
电荷总量不随时间改变
， \frac{\partial\rho}{\partial t}=0
因为电流定义为 \vec J\equiv-\rho\vec v
所以 \oint_S\vec J\cdot\mathrm d \vec S=-\int_V\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm dV
式子左边可以用高斯定理改写为 \int_V\nabla\cdot\vec J\mathrm dV
所以可以得到 \nabla\cdot\vec J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
这意味着一个区域内如果有电荷进出的话，就会有电流流入或流出。
把前面我们导出的 \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
代入进去，可以得到 \nabla\cdot(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})=0
这意味着电场 \vec E
随时间变化可以等价为一个新的电流项，称为
位移电流
。把这两个电流项代入安培环路定则，我们得到：
④ \nabla\times\vec B=\mu_0(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})
这就是麦克斯韦方程组的第四个方程，其含义是：
如果空间中有电流 \vec J
或者随时间变化的电场 \vec E
，那么就会绕着它们按右手定则产生磁场 \vec B
.
总结一下，以上推出的四个方程
\nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t
\nabla\cdot\vec B=0
\nabla\times\vec B=\mu_0(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})
就是电磁场的麦克斯韦方程组，它们四个再带上一个作为实验定律的洛伦兹力公式
\vec F=q\vec E+q\vec v\times\vec B
构成了经典电磁场理论的底层基础，原则上
一切经典电磁现象都可以由这五个方程去解释
。
