中心荷 (central charge) 是一个只在量子理论中会出现的概念。绝大部分人接触到中心荷这个概念是因为共性场论里的 Virasoro algebra：
[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + {c\over 12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}
这里中心荷 c 引导了一个共性代数的中心扩张。出现这一项的主要原因来自于量子理论中相位的不确定性。换句话说就是量子态不是 Hilbert 空间的一个点，而是一条射线。更具体地说，就是 |\psi\rangle 和加一个相位的 e^{\mathrm i\phi}|\psi\rangle 表示的是同一个量子态。这对于我们研究量子理论中的群表示带来了额外的 complication。具体来说，如果我们需要一个群 G 在 Hilbert 空间上的表示，直觉上可能认为我们需要
U(g_1)U(g_2) = U(g_1g_2)
但因为 Hilbert 空间中不同相位的点代表同一个态，所以我们实际上需要的是投影表示
U(g_1)U(g_2) = e^{\mathrm i\phi(g_1,g_2)}U(g_1g_2)
多出来的这个相位 \phi(g_1,g_2) 可以是群元 g_1,g_2 的某个函数。现在考虑群 G 是一个李群，从而可以用坐标 x 来描绘群元。我们有
\begin{array}{c} x_{3}^{a}\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{a}+x_{2}^{a}+\gamma^{a b c} x_{1}^{b} x_{2}^{c}+\cdots \\ \phi\left(g_{1}, g_{2}\right) \equiv \phi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\gamma^{b c} x_{1}^{b} x_{2}^{c}+\cdots \\ U(g(x))=1+i x^{a} T^{a}+\frac{1}{2} x^{a} x^{b} T^{a b}+\cdots \end{array}
其中 T^{ab} 是一个对称的 Hermitian 张量，坐标 x 限制在单位元附近并且 g_1g_2 = g(x_1) g(x_2) = g(x_3(x_1,x_2)) 。这样一来我们通过对比可知
-T^{c} T^{b}=i \gamma^{c b} 1+i \gamma^{a c b} T^{a}+T^{c b}
从而可以计算 commutator
\left[T^{b}, T^{c}\right]=i f^{a b c} T^{a}+i f^{b c} 1
其中 f^{a b c} \equiv \gamma^{a c b}-\gamma^{a b c} , f^{b c} \equiv \gamma^{c b}-\gamma^{b c} 。你会发现第二项便是所谓的中心扩张，而 f^{ab} 便是相应的中心荷。所以你可以清晰地看到中心荷是投影表示的直接产物，而源头就是量子态对于相位的自由度。
以上推导参考 Weinberg QFT I。
