由于幂函数 x^m 在 [a,b] 上连续，于是可积 [1] ，换言之，定积分存在。这保证我们可以通过执行 特殊 [2] 的分割取近似、作和求极限的手续来求出这个积分值。
为此，考虑在 [a,b] 中插入分点 a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. 为了便于计算，我们让这些分点不再是通常的「等差型」 [3] 而是特殊的「 等比型」 [4] ，即 x_i=aq^i, 这里 q=\sqrt[n]\frac{b}{a}. 取 \xi_i=x_i=aq^i, [5] 且 \Delta x_i=aq^i-aq^{i-1}=\frac{aq^{i}(q-1)}{q}, 由此做成积分和
\begin{align*} \sigma(n):&=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\\&=\sum_{i=1}^nf(aq^i)\frac{aq^{i}(q-1)}{q}\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\sum_{i=1}^n (q^{m+1})^i\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\cdot\frac{q^{m+1}((q^{m+1})^n-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\cdot\frac{q^{m+1}((\frac{b}{a})^{m+1}-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=(b^{m+1}-a^{m+1})\frac{q^m(q-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=(b^{m+1}-a^{m+1})\frac{q^m}{q^m+q^{m-1}+\cdots+1}. \end{align*}\\
很显然，当 n\to \infty 时， q\to 1, 于是对所有 i 都有\Delta x_i\to0, 此时
\int_a^b x^m{\rm d}x=\lim_{n \to \infty} \sigma(n)=\frac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1},\\
这就求出了积分值。容易验证这与利用 \text{Newton-Leibniz} 公式求得的结果是完全一致的。
参考
- ^ 闭区间上的连续函数必定可积，这是有定理保证的。
- ^ 既然定积分存在，那么按定积分的定义，无论如何分割、选点，积分和都收敛于同一个极限值。于是，只要求出积分和在某个特殊的分割、选点情形下的极限值，那么其他任何情形下的极限值都将与其同一。
- ^ 即将积分区间等分的那种情况。
- ^ 为何要插入等比排列的分点？请读者用通常的等差分点来计算一下试试。
- ^ 即分割所得的每个小区间的右端点。
