我不是学控制的，但是模拟电路是可以拿控制系统的那套理论来分析。之前有个哥们在我的专栏文章下面留言，说是我分析零极点的这套说辞实在是「清新脱俗」，可以跟学控制的同学分享一下。我可以讲讲一个电路里面的零极点是怎么回事。相信也可以让你有些物理上的理解。
首先是极点。
我们来看张图：
一个R和一个C，便构成了一个最基本的极点。它的传输函数如图所示，是1/（1+RCS）.因为s等于j\omega
，所以这里的RC造成了一个左半平面的极点：-\frac{1}{RC}
。
等等！现实中怎么会有负数的频率呢？
所以，如果input signal里面有这样一个等于1/RC的频率（如果是以Hz为单位，应该除以2\pi ）,那么会发生什么事情呢？
将\omega =1/RC 带入上面的传输函数，这个传输函数的amplitude response就变成了\frac{1}{\sqrt{2} } .
哦！原来在bode图里，遇到一个极点就会有-3dB（20lg(1/\sqrt{2}) =-3dB ）的下降，跟这个确实可以对应起来呢！
Source : Bode plot (Figure 1(b): The Bode plot for a first-order (one-pole)lowpass filter; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase is 90° lower than for Figure 1(a) because the phase contribution of the numerator is 0° at all frequencies.)
好吧！上面我们还是围绕着传输函数的公式打转，但是！但是为什么会有恰好等于一半的amplitude response呢？
重新回到上面的图。一个信号经过一个R，会有一部分能量被R以热能的方式散发出去。但是对于信号本身的频率、相位这些参数，R其实是没什么影响的。但是！但是还有一个C啊！这么大一个电容连着output和gnd，你不能忽视人家嘛！
C和R不同的地方，在于它并不消耗能量，但是却会改变相位。当input变化的时候，C上面的电压也会跟着变化。这个不甘寂寞的C有个独门秘技：「 吸和放 」！也就是说，当加在它上面的电压忽然变化的时候，它会先吸走一部分，然后过一会再把被它吸走的电子重新放出来。
你见过月圆之夜时，清冷的月光洒在海面，深深的海底，巨蚌一张一合的样子吗？
那个，嘿嘿，不好意思啊，作者君也没见过……不过看小说看过……
好了，不插科打诨了。总之，C就是个这么神经兮兮的家伙。它明明不要你的电子，但是就是不情不愿的要阻拦一下你的信号，过一会儿再放一部分电子出来。
因为这个讨厌的家伙，你的信号被拦腰劫走了一部分。
H(S)=\frac{1}{1+j} =\frac{1}{\sqrt{2} } e^{-j\frac{\pi }{4} }写成这样，我们可以看出来，若是输入信号的频率恰好等于\frac{1}{RC} ，那么传输函数变成为了上面那个样子。 增益变成了\frac{1}{\sqrt{2} } ，相位下降了45° 。
为什么是45°呢？因为C这个家伙是故意等了90°之后才不情愿的放出了你的信号。因为一部分（当\omega =\frac{1}{RC} 的时候，恰好是一半）逃出C的魔掌的信号没有相位的延迟，而另外一部分不那么幸运的信号就被C戏弄了一番之后放了出来。所以最后在output看到的总的效果就是延时了45°。嗯，不是90°，也不是0°，就是一半，45°呢！
所以，若是想让我们的信号特别厉害，不受到这个讨厌的C的毒害，我们的信号应该变成什么样呢？让我想想……那就是传输函数不就是1了吗！那个时候，我们的信号就别含变化量，直接是个DC的值，那么只对变化量感兴趣的C就懒得理你了！
还有，什么时候我们的信号被侵蚀得特别厉害，比如完全没有了？再让我想想……那就是大部分，或者说是几乎全部的信号都要先被C吸走再放出来吧？如果现在有个特别特别高频的信号，C就变得特别兴奋了。对于高频的信号，C的内力变强，传输函数包含s的那项远大于后面那个1，因而传输函数就变得无限趋近于零了。
嗯，好像input信号的具体频率其实起到了这样一个效果： 它决定了是从R直接到output的信号分量多呢？还是被C戏弄的信号分量多。
话说，R和C的具体值也是很有意义的吧？
那当然了。作者君每次都 朝着极端的情况想 ：
比如，若是我没有这个R，就一个孤零零的C，结果会怎样？那就是input直接和output短接在一起了吧？那还担心C干嘛？
H(S)=\frac{1}{1+RCS} \simeq 1或者，若是R无限大，又会怎样呢？额，信号花了九牛二虎之力，才勉勉强强的穿过R的重重包围到了output这边。结果前有狼后有虎，刚过来便又遇到一个虎视眈眈的C在output这里。唉！还是直接投降，任人鱼肉算了！C要戏弄就让它戏弄好了……
H(S)=\frac{1}{1+RCS} \simeq \frac{1}{RCS}= \frac{1}{RCj\omega }\rightarrow 0所以，1/RC的值和信号频率的相对位置，才是关键之处啊！若是RC超级小（比如很小的C只对更高的频率感兴趣。对于一些kHz什么的小喽啰，人家根本不care），我们的信号还是很安全的。但若是RC超级大，比如有个巨无霸的C，就是那种巨大的巨蚌啦！人家什么都喜欢，来者不拒，你的kHz的信号也是它的爱好之一，那么你就惨惨惨了……
或者还有一种方式理解极点：
之所以会有极点，就是因为当frequency上升之后，电容冒了出来，「一吸一放」。 或者可以这样说，这家伙是开黑店的。有事没事，路过的signal都被揪进去打了一顿才被放出来。（如果是DC，它不太敏感，也就放行了……）
其实你也 可以把pole理解成为两个current source （中间是virtual ground，或者说，是真的ground）， 一个专门打家劫舍，抢signal；一个只做好事，放他哥们抢的signal出去。他们的电流都等于C*dV/dt。
所以在pole的frequency时，专门干坏事个那家伙抢了一半的signal进了它的老巢。然后它那个只做好事的哥们过了90°又把人放了出来。
等到frequency很高的时候，打劫的那家伙就把所有的signal都抢了……然后它哥们还是继续当老好人，过了90°又把人放了出来……实在是神经病的组合……
至于零点。在电路中，零点就是一条前馈通路。信号不老老实实的按照你给它规定的路线跑，它找到了一条捷径，抄近路了……比如你跟人一起去跑马拉松，结果明明应该跑个圈再回来的，另外那哥们直接走了小路，省了几十公里的路……
首先是零点的基本分析：
说完了极点，我们再来看看它的对立面——零点。没有对手的绝世高手注定是不存在的，因为世间万物，必定有其相生相克的另外一个……哈哈！就此打住，否则作者君要开始描述一副「决战紫禁之巅」的画面了……^_^
我们还是拿一个最基本的电路模型来入手。
和前面计算极点的电路相反，这次电容C横跨在了input和output之间，而output一段则有一个到地的R。非常自然的写出transfer function：
H(s)=\frac{R }{R+\frac{1}{CS}} =\frac{RCS}{1+RCS} =\frac{RCj\omega }{1+RCj\omega }还是从频率为无穷小开始看：这个时候分子无限趋于0，而分母无限趋于1,。因此，transfer function的amplitude就约等于0。如果单位换成了20dB的话，则是一个无穷小的数。
然后我们再来看看当频率很大的时候：分母的那一项「1」可以忽略不计了。因此这个transfer function的amplitude就约等于1。单位换成20dB之后，就差不多是0了。
如果恰好\omega _{z} =\frac{1}{RC} ，那么这个频率就是我们所关心的零点频率了。同之前的极点频率类似，在这个零点频率处，amplitude变成了1/\sqrt{2} ，phase变成了45°。
等等！为什么书上都说，极点之后的amplitude以-20dB/dec下降，而零点之后的amplitude以20dB/dec上升呢？
前一篇我们仔细算了算，知道了极点下降的原因。那么零点上升也就是差不多的道理了啦！
重新写一下transfer function：
H(s)=\frac{RCj\omega}{1+RCj\omega}\approx RCj\omega上面这样等效的成立条件，是频率比较小的时候。因此，不知道大家发现了没有，当分子的频率j\omega 成为了整个transfer function的关键所在之时，20dB/dec上升其实也就成了自然而然的结果。
source:http:// manual.audacityteam.org /man/high_pass_filter.html
回忆一下推导极点时所用的bode plot：
不知道大家注意到没有：
开始在频率小的时候，极点是没什么作用的；当频率超过了极点频率，则极点的作用就开始显现出来了；
而零点则是频率低的时候有影响，等到了高频，则它的影响就忽略不计了。
是不是感觉有些玄妙？嗯，其实呢，说白了，就是j\omega 这项到底什么时候冒出来。比如零点是当频率低的时候，j\omega 在分子出现。所以呢，就有了20dB/dec的上升。
而对于极点来说，
H(s)=\frac{1}{1+RCj\omega } 只能是在频率大，导致j\omega 那项远大于1的时候，才能起到决定性作用。而且又由于它在分母的位置，所以才会最后导致高频时的20dB/dec的下降。
再回去想想……哎呦！最上面那张图不是电容跨在input和output之间嘛！高频的时候，电容就相当于一根导线，那它自然也就不起作用了嘛！嗯嗯，好像就是这样的！
然后是模拟电路里面的零点：
我们来看看电路中基本的零点长得啥样。
还是一个简单的单极点电路。和之前唯一不同的地方，在于gate和drain之间被加上了一个Cc。因为这个Cc的存在，这个电路中出现了一个比较明显的零点。当然，一般的mosfet的Cgd都是不太大的，除非用在诸如两级运放之间的miller capacitor那种Cc，这个零点才是我们需要考虑的。
传输函数：
H(s)=\frac{g_{m} R_o+RC_cS}{1+R_o(C_c+C_s)s}分母有个很明显的极点，分子有个明显的零点。极点咱们就先不管了，来看看这个零点：
\omega _z=-\frac{g_m}{C_c}很显然，自然界没有负数的频率。因此，我们还是来关心\omega _z=\frac{g_m}{C_c} 好了。
Cc就相当于前一篇文章中提到的跨在input和output之间的电容，而gm从分子挪到分母去，则是之前的output接地电阻变成了1/gm。
话说，为什么这个零点只跟这个nmos的gm有关系呢？
原因还是在于零点的特性：当频率大于零点之后，这个零点才能逐渐被忽略掉。
设想一下，如果现在有个很高频的input signal，那么这个电路中唯一的nmos就变成了gate和drain短接在一起的一个diode了。一个diode的等效电阻是1/gm，所以这个零点也就跟gm有关了。
很多书上说， 零点的存在，其实是提供了一条所谓的「feed-forward」前馈通路。道理同上，也就是走了「捷径」。捷径的存在，导致本来应该被mos放大的signal直接跑到了output那端，自然也就严重的影响了mos的放大性能。
详细内容可以参考我的专栏文章：
极点的物理意义：
知乎专栏单极点电路：
知乎专栏零点的分析：
知乎专栏零点的物理意义：
知乎专栏
