之前写过不少关于微分和导数的文章：
今天这篇文章再换一个角度来谈论微分和导数，让我们从微分出现的原因说起。
1 微分出现的原因
出于种种原因，我们可能想去求曲线的长度、曲面梯形的面积：
求解思路是这样的，以求曲线长度为例，将曲线分为多个部分，每一部分都用切线来近似曲线：
划分的越细，直到划分为无穷多份，最终这些切线的长度加起来就是曲线的长度：
求曲边梯形面积也是类似的，用小矩形来近似曲边梯形的面积，随着小矩形的增多最终得到曲边梯形的面积：
上面的思想就是微积分的核心思想，「以直代曲」。曲线长度、曲边梯形就是「曲」，切线、小矩形就是用来近似（代替）的「直」，这种「直」就是 微分 。关于这里还不了解的可以看「微分是什么？」这篇文章。
2 微分与导数
先不谈曲边梯形，本节先来回答曲线的微分是什么，也就是可以近似曲线的直线是什么？
2.1 几何分析
下面结合几何来理清一下求解的思路。假设有曲线f(x) 和直线g(x) ，如果两者完全相等，那么有：
f(x)=g(x)\quad 或\quad f(x)-g(x)=0\\
很显然这在整个曲线和直线上是做不到的，但肯定可以做到在某点上相等，比如让它们在x_0 点相等，从几何上看就是曲线f(x) 和直线g(x) 在x_0 点相交：
下面要更进一步，不过不要太贪心，只希望两者在x_0 附近尽量相等。比如像下图一样，在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的区间内，曲线f(x) 和直线g(x) 相差很小：
这点如果可以做到，那就可以按照上一节说的，将曲线分成n份，每份都用各自的微分来近似。
2.2 代数分析
通过几何分析，思路已经理清楚了，要找的微分（直线）需要满足以下两点：
（1）曲线f(x) 和直线g(x) 要交于x_0 点。假设直线g(x) 的斜率为k ，那么根据点斜式，可得直线函数：
g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\
这里面就是k 还未知，求出了k 就得到了想要的直线，也就得到了微分。
（2）曲线f(x) 和直线g(x) 要在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的区间内尽可能相等。用代数表示即为：
f(x)-g(x)\approx 0,\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)\\
有约等号的式子是没法计算的，引入高阶无穷小o(\Delta x) 可以将约等号去掉：
f(x)-g(x)=o(\Delta x),\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)\\
高阶无穷小o(\Delta x) 的意思就是在\Delta x 这个范围内无限的接近于 0。至于为什么它无限接近于 0，以及为什么是高阶无穷小，在文章的最后会进行补充说明。
2.3 解出直线的斜率 k
经过上面的分析我们有了：
\left.\begin{aligned} g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\ f(x)-g(x)=o(\Delta x) \end{aligned}\right\}\implies f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x) \\
这已经足够让我们解出直线的斜率k 了。注意到\Delta x=x-x_0 ，可以进行如下变形：
\begin{aligned} f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x) &\implies f(x)-f(x_0)-k\Delta x=o(\Delta x)\\ &\implies \frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned} \\
两侧取极限可得：
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\implies \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=0 \\
略微作一下化简可得：
k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}\\
至此我们就求出了k ，也就找到了f(x) 的 微分 （直线g(x) 的形式还需要变一下才是真正的微分，关于这点可以参考「dx，dy是什么？」这篇文章）。
这个k 在微积分中又有一个专门的名字，称为f(x) 的 导数 。k 如果存在（因为k 是通过极限求得的，这个极限有不存在的可能），那么就称f(x) 可导。
上面的思路还可以进一步思考，如果要找最接近曲线f(x) 的多项式曲线呢？这会得到泰勒公式，就留给大家作课后习题吧。
3 补充说明
这里补充说明两点：
（1）高阶无穷小o(\Delta x) 为什么表示在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的区间内无限接近于 0 ？这是因为它满足：
\lim_{\Delta x\to0}o(\Delta x)=0\\
上面这个极限式意味着\Delta x 越小，也就是越接近于x_0 点，o(\Delta x) 越接近于 0。用动画表示就是：
上图中绿线就是曲线f(x) ，蓝线为微分，可以看到随着\Delta x 缩小，两者之间的距离o(\Delta x) 也无限接近于 0。
（2）为什么一定要高阶无穷小？同阶无穷小行不行？关于这点可以参考「为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ？」这篇文章。
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