v_x=\frac{v'_x+V}{1+v'_xV/c^2}
v_y=\frac{v'_y\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+v'_xV/c^2}
v_z=\frac{v'_z\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+v'_xV/c^2}
v'_x=\frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2}
v'_y=\frac{v_y\sqrt{1-V^2/c^2}}{1-v_xV/c^2}
v'_z=\frac{v_z\sqrt{1-V^2/c^2}}{1-v_xV/c^2}
p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}
如果v只有x分量則：
p_x=m\frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2}/\sqrt{1-(\frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2})^2/c^2} \\=m(v_x-V)/\sqrt{[c^2(1-v_xV/c^2)^2-(v_x-V)^2]/c^2} \\=m(v_x-V)/\sqrt{[c^2(1-v_xV/c^2)^2-(v_x-V)^2]/c^2} \\=m(v_x-V)/\sqrt{[c^2+(v_xV/c)^2-v^2_x-V^2]/c^2}
可以看到分母是 \gamma =1/\sqrt{(1-V^2/c^2)} 和 p_x=mv_x/\sqrt{1-v^2_x/c^2} 分母的乘積。
A28： x'=\gamma(x-Vt) \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=\gamma(t-xV/c^2)
A31:令x=Vt得：
t'=\sqrt{1-V^2/c^2}t 2p=mv\gamma\\ 4pc=\sqrt{\cdots}
f(x) min \\ g_1(x)=g_2(x)=\cdots=0\\ xy的極值，在x+y=1 \\L(x)=f(x)-ag(x) \\L'(x)=0 \\L'(a)=0
光頻率，波長的變化：
設兩個參考系之間的速度差為V。設有一束光在靜系下有波向量為 k=\omega/c ,頻率為 \omega .設在t=0,x=0處，x x'=0，t'=0, 該光在靜系下的運動為 \sin(\omega t-(\omega/c)x) ，由於光的運動的相位，在不同參考系下是確定的，因此我們需要將t與x代入：
x=\gamma(x'+Vt') \\ y'=y \\ z'=z \\ t=\gamma(t'+x'V/c^2)
得到在動系下的光為： \sin(\omega \gamma(t'+x'V/c^2)-(\omega/c)\gamma(x'+Vt') ) \\=\sin(\omega\gamma(1-V/c)t'-\frac{\omega\gamma(1-V/c)}{c}x)
可知頻率的變換公式為： \omega'=\frac{1-V/c}{\gamma}\omega=\sqrt{\frac{1-V/c}{1+V/c}}\omega
波向量有類似的變換： k'=\frac{1-V/c}{\gamma}k=\sqrt{\frac{1-V/c}{1+V/c}}k
而波長為波向量的倒數。
