這些個奇形怪狀的質數公式, 無非就是一個命題/定理中找出一個斷言, 然後用謂詞重寫這個斷言, 然後用數學符號重寫這些謂詞.
Willson 定理p>1 是質數, 若且唯若 (p-1)!=-1\bmod p , p=1 時同樣滿足此關系.
註: Willson 定理是 1 被踢出質數的受害者, 當時提出的時候可是不用對1特殊處理的...
所以對於質數和1, 我們可以下斷言: \frac{(x-1)!+1}{x}\in \mathbb{Z}
換個表述也就是說:
如果 x\in \mathbb{P}\cup\{1\} , 那麽 \frac{(x-1)!+1}{x} 就除的盡, 反之合數就除不盡.我們給他配個有界函數, 比如 \cos^2(x) , 然後調整下周期, 讓它只有在斷言成立的時候能取到最大值1
不成立的時候下取整變成0就行, 與是我們得到了一個萬能的判定質性的布爾函數:
\mathtt{isPrime}(x) = \left\lfloor \cos^{2} \frac {(x - 1) ! + 1} {x}\pi \right\rfloor =\begin{cases} 1, x\in \mathbb{P}\cup\{1\}\\ 0, \mathrm{others} \end{cases}然後對所有小於 n 的自然數判斷一遍加起來就能得到計數函數:
\mathtt{countPrime} (n) = \sum_{x = 1}^{n} \mathtt{isPrime}(x)- 1計數記得去掉1個, 1 現在規定它不是質數.
這個函數解析數論裏常記作 \pi(x) .
給定自然數 n , 滿足 \pi(m)<n 的數的數量就是 p_n -1 .
啊, 討厭的 1...同理我們構造真值函數和計數函數, 最後得到質數公式:
p_{n} = 1 + \sum_{m = 1}^{\infty} \mathrm{isLess}(\pi (m) , n)然後問題轉化為怎麽消掉這些個謂詞.
然後這個無窮大也得消了, 不然就不叫公式(封閉解)了...
接下來要用到一些質數密度的估計.
對於任意自然數 n
和 2n
之間至少有一個質數.
也就是說小於等於 2^n
的質數至少有 n
個.
於是我們可以把這個無窮大消掉了, 換成 2^n
, 後面的求和都是 0 了不用管.
另一方面, Willans 發現了一個非常巧妙的真值函數:
\mathtt{isLess}(x , y) = \left\lfloor \sqrt[ y ] {\frac {y} {1 + x}} \right\rfloor =\begin{cases} 1, x<y\\ 0, x\geqslant y \end{cases}
由此才得到了完全由初等函數和有限和的 Willans 質數公式
綜上所示: p_n = 1 + \sum_{m = 1}^{2^{n}} \left\lfloor \sqrt[ n ] {\frac {n} {1 + \pi (m)}} \right\rfloor
比 2^n 更好的界也是有的, 我們不去管他, 接下來把 \pi(x) 也替換掉, 最終得到:
p_{n}=1+\sum_{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor\left(\frac{n}{\display style 1+\sum_{j=1}^{m}\left\lfloor\cos^{2}\frac{((j-1)!+1)\pi}{j}\right\rfloor}\right)^{1/n}\right\rfloor
Quite Easily Done!
