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如何理解 Wick 轉動?Wick 轉動在物理中的重要性如何?

2020-10-30科學

2020-05-06

物理學中, Wick rotation 是一個找尋解的方法,將閔考斯基空間( Minkowski space )中的問題轉到歐幾裏得空間( Euclidean space )中,於其中求解,再逆轉回 Minkowski space 中,所根據的是「解析延拓( analytic continuation )」。它之所以被稱作「 rotation 」是因為當我們將復數表示成平面時,將一復數乘上 i ,等於將代表此復數的向量旋轉了 \frac {π} {2} 的角度(等價於變換 t→it )。

好像上面這幅圖,把時間覆寫成虛數,然後在這個虛數時間系統裏找動態系統,再對映回本身的 real time 。這個方法本身的根據就是數學理論中解析延拓,原本用來得出 1+x+x²+x³+…… 的數學方法。 Wick rotation 有個成功例子是將統計力學( statistical mechanics )與量子力學兩個不同方法,分別代表著宏觀和微觀世界計算得出的可觀察量給連線起來,譬如像我們將統計力學中有關溫度的 \frac{1}{k_BT} 轉換成量子力學中的 \frac{it}{ħ} 這樣。另外, Wick rotation 成功地連結了量子力學與統計力學,舉例來說, Schrödinger equation heat equation 可透過 Wick rotation 而相關連,雖然仍存在些許差異,例如:統計力學中的 n 點函數滿足正性( positivity ),而 Wick rotation 下的量子場論( quantum field theory, QFT )則滿足「反射正性( reflection positivity )」。

再者, Stephen William Hawking 1978 年提出量子場學重力模型( quantum field theory ),這個方法在研究量子力學時還用在相對論上,屬於 pseudo-Riemannian manifold 的時空,一個運算上較麻煩的流形,透過 Wick rotation 後會變成 Riemannian manifold ,一個相對運算上較容易,屬於物理學和數學家比較熟識的流形。簡單的例子就好像狹義相對論( special relativity )中的 4 Minkowski space Wick rotation 後會變成大家都很熟悉的 Euclidean space ,只是從 3 維變了 4 維。歐氏量子重力就是一個廣義相對論經過 Wick rotation ,然後再做量子化( quantisation )得出的量子場學重力模型。

比較起來,可以看出 Wick rotation 是從單粒子分布函數到單粒子波函數的關鍵。當前的物理學中廣泛使用 Wick rotation 和費曼路徑積分,以自由例子的作用量 S=∫\frac{x^2}{2}dt 為例,可以插入路徑積分裏做直接計算,或是暫時把指數函數內 i 去掉成比較簡易的理解計算,以後可以用 Wick rotation 回到原式。總之, Wick rotation 是量子理論中的一個計算技巧,其中我們假設能量或時間是純虛的。我們在給出這些假設的情況下進行計算,這些假設通常定義得更清楚,然後分析性地將結果返回到通常的時間和能量的實際值。