涉及到一個微分方程式基本定理，在這裏我們用到的部份可以這麽描述：如果y滿足一個n階線性齊次微分方程式，則根據任意的 y(0), y'(0), y''(0),...,y^{(n-1)'} (0) ，可以唯一確定一個微分方程式的解。它的嚴格證明比較麻煩，但可以簡單理解一下：假定存在兩個解y1和y2，考慮y1-y2，則它也是方程式的解，而且各階導數都為0，按方程式它的n階導數也為0，按導數推演這應該是一個恒為0的函數（這裏其實需要嚴格證明，但思路是這樣），那麽應該有y1 - y2 = 0，因此解是唯一的。
這意味著只要給定一個n階向量，就可以唯一確定一個解；反過來，任意一個解也都可以對應到一個n階向量。這意味著解空間（顯然是一個線性空間）維數不超過n。
接下來就是存在性的問題，這個應該所有的微分方程式數上都介紹過特征根法，就不再詳細介紹了。
n階線性齊次微分方程式，實際上是n階線性齊次微分方程式組的一個特例，通常方程式組可以寫作
\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x} = Ay
其中y是一個n階函數構成的向量，而A是n * n的矩陣。顯然對於n階線性齊次微分方程式來說，只需要令
y = (y_0, y_0', y_0'', ..., y_0^{(n-1)'}) 就可以覆寫為線性方程式組的形式，A的最後一行是原方程式的系數，上面的每行則只有一個1，在對應位置上。
對於n階線性齊次微分方程式組來說有類似的基本定理，即 y(0) （這是一個n階向量）可以唯一確定y。因此，任意n階線性齊次微分方程式組實際上都有n個線性獨立的特解，而n階方程式只是一個特例。
特解同樣可以透過特征根法求（令 y = C \exp(\lambda x) ，C是一個向量，轉化為求矩陣特征值的問題）
也可以用拉普拉斯變換簡單粗暴得到這個結論：
L(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}) = L(Ay)
s Y - y(0) = AY
(sI-A)Y = y(0)
Y = (sI-A)^{-1}y(0)
所謂特征根，在拉普拉斯變換下，其實是滿足
sY = AY 的Y，不難看出，這實際上就是求矩陣特征值和特征向量，特征值是 \det(sI - A) = 0 的根，對於根 s_k ，如果特征向量是 \mu ，則 A = \mu \delta(s-s_k) 正好就是一個解（因為在 s=s_k 時因為特征向量的特性符合方程式，在 s \ne s_k 時因為 A=0 符合方程式）。
我們可以看到線性代數和線性微分方程式組理論之間有密不可分的關系，也更容易理解為什麽線性微分方程式組裏的特征值和線性代數裏的特征值是同一個名字了吧。
總結來說：
- 線性微分方程式（組）的解可以由初值唯一確定（存在且唯一）
- n階線性微分方程式（組）的初值是n維的
- 因此，解空間也是n維的
或者用線性代數語言描述：
- 線性微分方程式（組）的解和初值都構成線性空間
- 線性微分方程式（組）的解和初值之間形成一個可逆的線性對映
- n階線性微分方程式（組）的初值是n維線性空間
- 因此，解空間也是n維的
