這本書在代數幾何學界裏是很有名的, 到2015/5/15 為止, 在 MathSciNet 上它被參照了 285 次.
Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, and Kuang-yen Shih, Hodge cycles, motives, and Shimura varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. MR 654325 (84m:14046)
SGA 4.5 則有 454的參照.
Pierre Deligne, Cohomologie étale, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569, Springer-Verlag, Berlin- New York, 1977, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2, Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J. L. Verdier. MR 0463174 (57 #3132)
至於 BBD, 到15-05-15為止, 被參照了 624 次.
A. A. Beilinson, J. Bernstein, and P. Deligne, Faisceaux pervers, Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Ast ́erisque, vol. 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, pp. 5–171. MR 751966 (86g:32015)
Grothendieck 對這3本書是什麽態度呢? 在給 Mumford 的信裏, 他說
But let me get back to cases of outright fraud and ruthless cynicism, asexemplified by the remarkable volume LN 900 on motives (one of the most
cited books in the literature), or by the very
name 「SGA41/2」 (same remark),
or, more shameless than all, the Colloque Pervers (same remark again for
the Proceedings of the Colloquium, in two volumes, published in Astérisque).
The fraud in these cases is evident and glaringly clear to all those who are
in touch with the topics dealt with—in the third case, it should add up to
at least fifty world-wide known specialists, including such 「stars」 as Deligne,
MacPherson, Beilinson, Malgrange, Verdier, and many others. Here it is not
some well-known 「ancestor」, who used to be in a position of power himself but
who isn’t around any more, who is being plundered—or, if he is indeed, this
isn’t really the crux of the matter. The whole Colloquium (exhibiting for the
first time a substantial portion of the panoply of the unnamed ancestor...)
took place through the solitary and obstinate work of an unknown pioneer,
who (drawing inspiration from the ancestor) succeeded to do the work that
Deligne had been unable to conceive of and to do, ten years before. Through
the connivance of the participants in this Colloquium this 「unknown soldier」,
who did the work which none of these brilliant people had ever dreamed of,
isn’t named at all in the first volume of the Proceedings, and in the second
only quite incidentally and never with reference to the main result which was
the very spring of the Colloquium. I said enough about this affair in ReS, so
that I need not dwell upon any more details.
他是有多麽的憤怒和傷心啊.
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2014. 11. 13. 他永遠離開了我們
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寫了這麽多的內容, 我發現越往後越不能避免技術上的討論. 從而也使得這篇回答越來越不能符合科普文的性質. 畢竟, Grothendieck的數學不是那麽容易就被消化理解的, 哪怕是在膚淺的層面上.
再加上我自己所知非常有限, 我恐怕這個答案將不會對太多人有用.
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A. Grothendieck是一個改變了當代數學面貌的人.
( 一 )
如果你去MathReview上看 Grothendieck 的論文參照次數, 你會(驚奇地)發現被參照最多的是 ---
MR0075539(17,763c)
Reviewed Grothendieck, Alexandre
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires.
(French)
Mem. Amer. Math. Soc.
1955
(1955), no. 16, 140 pp.
46.1X
"核空間與拓撲張量積"
這個是Grothendieck的博士論文. 這篇論文的Review的第一句話是
Le grand nombre de résultats importants contenus dans ce mémoire (Thèse), rend difficile d'en mettre en évidence les lignes essentielles, même si l'on a recours au résumé des résultats publié auparavant.英文 (google) 轉譯:
The large number of important results contained in this thesis (PhD), making it difficult to highlight the essential lines, even if it uses the previously published summary of the results.如果你學過W.Rudin的"泛函分析", 你會發現其實Grothendieck的泛函分析的定理是可以被寫入教科書的. 我並不懂泛函分析, 況且400+的參照率在分析業界並不可觀. 還請其它分析行家補充.
( 二 )
50年代中葉之後, A. Grothendieck的興趣逐漸從泛函分析偏移到了更加代數的範疇中. 比如, 他證明了黎曼球面上的全純向量叢分裂成線叢的直和.
MR0087176(19,315b)
Reviewed Grothendieck, A.
Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann.
(French)
Amer. J. Math.
79
(1957), 121–138.
53.3X
現在, 這個定理的證明已經頗為標準, 可以在標準的代數幾何入門書上找到. 然而, 高虧格黎曼曲面上的向量叢的研究則復雜很多. 這時(穩定)向量叢的等價類會"連續變化", 因此出現了"模空間", 關於模空間的拓撲, Narasimhan-Seshadri, Atiyah-Bott等有非常深入的工作. 前者運用了算術中得Weil猜測; 後者則來自楊振寧-Mills理論的啟示.
在堪薩斯大學的時候他發表了著名的"Tôhoku",
MR0102537(21 #1328) Reviewed
Grothendieck, Alexander
Sur quelques points d'algèbre homologique. (French)
Tôhoku Math. J. (2) 9 1957 119–221.
18.00
D. Buchsbaum的Review的第一句話如下.
The formal analogy between the cohomology theory of a space with coefficients in a sheaf, and the derived functors of functors of modules has been apparent for some time. The author has here developed the necessary framework to encompass these (as well as other) theories.也許現在所有的入門同調代數書介紹導來函子時, 最先采取的講法都是依據 Tôhoku. 這與幾十年前同調代數只有唯一"聖經"(Cartan-Eilenberg)的情形已經截然不同了. 如果稍微讀一下 Grothendieck的這篇文章, 就會發現其中很多技術可以意想不到地套用到很多其它數學的角落. Grothendieck 在這篇文章裏系統地介紹了如何在相當一般的情形下套用譜序列計算復合導來函子. 諸君所熟悉的大多譜序列 (Leray, Local-to-Global, Hochschild-Serre,...) 皆是 Grothendieck 譜序列的特殊化. 後來, 同調代數在 Grothendieck 的博士生 J.-L. Verdier 的工作下繼續發展, 產生了匯出範疇, 三角範疇等近代數學概念; 這些研究引發了(Poincaré, Serre) 對偶定理的大振幅推廣. 可惜 Verdier 先生和他的太太不幸在車禍中喪生, 令人無限惋惜.
Grothendieck 的對偶理論是在 Scheme 理論發展之後逐漸成型的. 早期關於這個理論的唯一參考文獻是 R. Hartshorne 的 "Residue and Duality". Grothendieck 的看法是先 build up 局部對偶, 然後發展整體理論. 但是匯出範疇的概念基本是整體的, 所以從局部到整體的過程頗為復雜, 令人不悅. 此外, 由於導來函子的計算需要 "injective resolution", 人們只能局限在 bounded derived category. 隨著20世紀後半葉的數學發展, 特別是代數拓撲學與抽象同倫論的發展, 人們漸漸意識到 unbounded derived category 具有更佳性質. 經過一系列的觀察和積累, 在1996年由 A. Neeman 寫下了下面的文章,
MR1308405(96c:18006)
Reviewed Neeman, Amnon(1-VA)
The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability.
J. Amer. Math. Soc.
9 (1996), no. 1, 205–236.
18E30 (14F05)
( 三 )
A. Grothendieck 在 50 年代證明了 Riemann-Roch定理的巨大推廣. 由A. Borel 和 J.-P. Serre 寫下並行表.
MR0116022(22 #6817)
Reviewed Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre
Le théorème de Riemann-Roch.
(French)
Bull. Soc. Math. France
86
1958 97–136.
14.00
如大家所常聽聞的老生常談所說的一致, Grothendieck認為這個定理是關於"對映"的, 而非"代數簇"的. 將定理陳述為關於對映的給證明增添了很大的flexibility. 這個定理的證明可以分成兩部份, 一部份是關於"regular embedding"的; 另一部份是關於投影空間的. 後一部份證明極為普通; 而關於regular embedding的部份則略微復雜. 問題在於Grothendieck於1958年並未獲得Chow theory的良好資訊. 實際上, Grothendieck在證明中所用的Chow理論, 乃是K-理論的關於余維數的分次環. 這個定義給計算Blow-up的Chow理論帶來了很大的不便. 後來, W. Fulton和R. MacPherson發展了相交理論, 運用"deformation to the normal cone"的方法, 徹底簡化了Borel-Serre文中的證明.
Grothendieck 的 Riemann-Roch 定理包括了著名的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式. 如果運用Fulton-MacPherson理論, 則其證明簡潔優雅, 極為動人 (可參見W. Fulton的"interp theory"第16章). Grothendieck 的 Riemann-Roch 公式在後世有了極大的套用. 一個例子就是 D. Mumford和J. Harris運用Grothendieck-Riemann-Roch加上Brill-Noether理論成功地計算了曲線模空間的canonical divisor class. 透過計算, 他們得出了當虧格 >= 24 (感謝 Fu Hei 指正) 時, 曲線的模空間是general type variety. 這是模空間雙有理幾何的開山之作.
作為Borel-Serre文章的附錄, Grothendieck 給出了一個定義陳省身示性類的方法.
MR0116023(22 #6818)
Reviewed Grothendieck, Alexander
La théorie des classes de Chern.
(French)
Bull. Soc. Math. France
86
1958 137–154.
14.00
實際上, Grothendieck 註意到了向量叢的投影配叢的餘調可以透過 Leray-Hirsch 定理表達為底空間的餘調加上 relative O(1) 的歐拉類的方冪; 歐拉類所滿足的關系的系數恰好是陳類. 這個定義方式頗有影響, 還常常被代數拓撲入門讀物采納, 如 R. Bott和L. Tu的 "Differential forms in algebraic topology".
(四)
Scheme, 中文轉譯為概形, 是 Grothendieck 用來推廣代數簇的幾何物件. 代數簇, 眾所周知, 是投影空間中齊次多項式的零點. Scheme, 不只記住了點集, 還記住了定義這點集的多項式. Scheme的基本理論被記錄在了未完成的 EGA 中.
與廣大群眾所熟知的論調相反, scheme 並非高度抽象的理論. 相反, 它十分具體, 並且能夠生動地反映出代數簇所不能反映出的特質.
透過系統地使用scheme的語言, Grothendieck 構造了所謂的 "Hilbert scheme". 大量古代代數幾何中的模糊的陳述, 透過Hilbert scheme, 可以精確地陳述. 比如, F. Severi 的 residual (?我忘了這個名詞是什麽了, 就是 surface 上 curve 的 normal bundle 的 complete linear system) system 維數猜測, 透過 Hilbert scheme 和 Picard scheme, 在特征 0 得到了代數證明; 不只如此, 在特征 p 時, 我們也知道為何猜測是錯的 (Picard scheme nonreduced).
透過把曲線表示為 pluricanonical embedding的Hilbert point, D. Mumford 的幾何不變量得以構造模空間; 目前為止, 這已經成為構造模空間的標準方法. （請註意, 芒福德的「幾何不變量」 一書並非套用幾何不變量這一手段構造曲線模空間。）
Grothendieck 發展了 Kodaira-Spencer 的變形理論, 發展了阻礙理論. 這些由他的博士生 L. Illusie 系統化, 寫成了博士論文 "cotangent complex, I and II". 這些理論成為當代數學中重要的工具. 比如, 最幼稚地套用變形理論和阻礙理論, 可以對某個幾何物件一切可能的變形的空間的維數進行估計. Grothendieck 還證明了重要的 "Grothendieck 存在定理", 說明何時 "formal deformation" 可以擴張為"代數變形", 即來自於幾何的變形.
Grothendieck 的 scheme 理論還聯系了幾何與算術. 透過標準的"spread out"技術(取出多項式系數, 生成一個有限生成Z-代數), 可以將一個復代數簇約化到有限體. 有時, 這種技巧可以極大地簡化問題, 甚至導致超越技術難以證明的定理. 一個極好的例子是森重文對"Hartshorne 猜測"的證明. 透過套用特征p的Frobenius endomorphism, 森得以控制變形空間的維數; 然後套用"bend-and-break"以產生有理曲線. 一個更為生動的例子是Grothendieck對 Ax 定理的證明. 前述的 Narasimhan-Seshadri 的工作, 其實就是將模空間約化到特征p, 然後套用Weil猜測來計算餘調. 這一切都是 Grothendieck 之前的時代的技術所不能達到的.
我只是簡單地舉了幾個例子來彰顯scheme的重要, 但她業已經成為標準的語言. 故而大多的當代代數幾何論文都可視為scheme理論的套用.
( 五 )
Grothendieck 發展了拓撲的概念. 現在稱之為Grothendieck topology或者site. 這部份數學被記錄在SGA4中. Grothendieck 認為, 拓撲學中的一個空間的開覆蓋的概念可以推廣 --- 比如, 在scheme X的 (small) étale topology中, 一個開集是指一個étale map U --> X. 而一個開覆蓋則是一堆étale maps U_i --> X; 它們的像的並是X. 眾所周知, Zariski topology非常粗(coarse), 使用étale拓撲則可以增添相當的flexibility. 更為重要的是, 對一個site, 可以定義site上的sheaf, 這構成一個abelian 範疇, 可以討論這些sheaf的餘調, 等等.
Grothendieck 意識到 site 的性質很大程度上決定於其上所承載的"束(sheaf, 誤譯為'層', 頗令人不解)". 也許, sheaf的範疇是更本源的幾何物件. 一個範疇, 如果等價於一個site上的sheaves的範疇, 那麽這個範疇叫做一個Grothendieck topos.
透過定義不同特性的 sites / topoi, 可以導來代數簇的各種有趣的餘調理論. 比如晶體餘調是晶體拓撲斯的結構束的餘調; proper variety 的剛性餘調可以實作為 Ogus 的 "收斂拓撲斯" 的某個束 K 的餘調; 最近 Le Stum 定義了過收斂拓撲斯, 這個可以一致地處理非緊的 variety 的剛性餘調.
(六)
安德烈 • 威毅 (André Weil) 猜測代數簇的拓撲性質和其算術性質有著緊密地聯系. 比如, 透過計算一個光滑投影代數簇在有限體約化的點得個數, 我們可以計算其貝蒂數. 而餘調的 彭加勒對偶 則體現在了point-counting 的 Zeta 函數的函數方程式中. 最深刻的是 Riemann hypothesis 的類似, 它預言了 Zeta 函數的零點和極點的模長如何. Weil 大概意識到了這些猜測的一部份是某種"好"餘調理論的推論. 但是構做餘調理論這一大業卻是在 SGA 4 中實作的.
撓系數的 平展 (Étale) 餘調可以準確地反映代數簇的"正確"拓撲性質. 在復數體上, Z/l系數的 étale 餘調和相應系數的奇異餘調是同構的. 然而, 要實作 Weil 猜測的有理性和函數方程式的證明, 我們需要一個系數取值在特征 0 域的餘調理論 (從而得到準確的萊夫謝茨固定點公式). 今可對 H^*(X,Z/l^nZ) 取逆向極限, 便得到平展 l-進餘調群. 若將餘調系數擴張至 l-進有理數體 Q_l 或者其代數閉包 , 就得到了取值在特征0的"好"餘調理論; Weil 猜測中的 有理性 和 函數方程式 迎刃而解 (略早於Artin-Grothendieck, 這兩個猜測已經被 Dwrok 用 p-adic 的方法解決了, 德沃克先生的 p 進方法在後世產生了巨大影響，導致了當代數學諸多革命性地發現，然而由於與主題無關，在此按下不表).
黎曼猜測是被 Grothendieck 的博士生 P. Deligne 解決的. Deligne 對 l-adic cohomology 的深入研究導致了一系列重要進展. 在80年代, 德利涅繼承自 Grothendieck 的 「威權理論」 (theory of weights) 受到 D-模理論, 高睿天-麥福森「相交同調」的影響, 達到高潮. 產生了Bernstein-Beilinson-Deligne-Gabber的「分解定理」. 此外, 作為他研究的衍生物 (或者 theory of weight 在特征0的類似物), Deligne 在其第二篇博士論文中引入了 混合 Hodge 結構 (Mixed Hodge structure), 並且證明了一系列關於代數簇拓撲的驚人結果. 可惜, Deligne 的文章 Weil II 和 Hodge II, III 並不易讀 （然而，需要補充的是，Grothendieck 學派的文章雖然不易，卻都組織得非常好，即俗語所謂「寫得很好」）.
然而, 對於不同的 l, 我們有不同的 l-adic 餘調. 這麽多餘調理論都是一回事嗎? 這就誘發了"yoga of motives".
( 七)
如上所說, 你給一個質數 l, Grothendieck 教給你一個"好"餘調. 這些餘調似乎是"一樣"的, 但是卻明明有不同的系數. Grothendieck認為這些餘調理論應該有公共的發源. 他把這個發源稱為"motif", 而這一切的餘調理論都是motive的不同實作方式而已.
代數簇, 相對於復解析空間或者復流形, 一個重大的特點是它具有大量的子空間. 對一個光滑投影代數簇X, 整數m, 定義Z_m(X)為由X的m-維不可約子簇生成的自由abel群. Z_m(X)中元素稱為"algebraic cycle". 在Z_m(X)上存在一系列等價關系, 諸如有理等價, 代數等價, 數值等價. 為了簡單起見, 我們只談數值等價. 兩個Z_m(X)中的algebraic cycle a 和 b 稱為數值等價, 如果對任何dim X - m維的X的不可約代數子簇V, 有a.[V] = b.[V], 其中"."指代相交數. 相交數的嚴格定義頗為復雜, 我們不予討論. 但其直觀意義卻相當明顯, 即計算兩個子簇相交的點的個數.
令 A^n(X) = A_\text{num}^n(X) 為 商群 Z_{\dim X - n} (X) /\text{num. eq} .
設 X, Y, Z 為三個光滑投影代數簇. \alpha\in A^\ell (X\times Y) , \beta\in A^m(Y\times Z) 分別為 X x Y 和 Y x Z 上的cycle classes. 我們可以定義復合 \alpha\circ\beta \in A^{\ell + m -\dim Y}(X\times Z) . 一個元素p \in A^{\dim X}(X\times X) 稱為projector, 如果 p \circ p = p .
對域k, 今定義範疇Mot_k如下, 其objects為pairs
(X,p)
, 其中X是光滑投影代數簇, p為X上的projector. 定義兩個物件之間的arrow為
\mathrm{Mot}((X,p),(Y,q)) = p \circ \bigoplus_\ell A^\ell(X\times Y)\circ q
Grothendieck 猜測, 這個範疇應該是匯出一切餘調理論的終極餘調.
如果域k是特征0, U. Jannsen 證明了這個範疇是 semisimple abelian 的.
Motive的理論或多或少還停留在猜測階段. 原因是 motive本身的很多性質都還沒有得到證明. Grothendieck 自己提出了關於 motive 的標準猜測; 包括數值等價與同調等價的一致性。這些猜測遠未被解決.
Motive 的各種實作, 另一方面, 則在代數幾何中產生了巨大的影響. 如果假設著名的 Hodge 猜測, 那麽在complex number上, motive 的範疇嵌入(fully and faithfully)到了所謂"pure Hodge structure"的範疇裏. 一種在幾何上實作 pure Hodge structure 的方法是使用復投影流形上奇異餘調的 Hodge 分解. 對 Hodge 結構的研究產生了許多美妙的定理. 這方面的始作俑者是 P. Griffiths 和他的學派. 格裏菲斯是一個非常 original 的數學家，受陳省身的影響，他鼓吹，推進，發展了 厄米微分幾何，李理論和奈望林納理論，並用它們以研究所謂 周期域 (period domain) 與周期對映 (period mapping)。Hodge 理論於是蓬勃發展，至今仍然是復代數幾何中非常寶貴的工具。舉幾個例子：
總之, Hodge理論不僅僅是Motive理論的實作, 也在具體問題中發揮了巨大的作用.
關於motive有很多可以說的方面, 我們暫且只說Hodge, 留待虛幻的後傳來討論其他的方面.
(八)
如上, 對於特征p的域, 我們可以構造l-adic餘調用以解決許多問題. 然而, p-adic etale 餘調並非正確地餘調理論. 比如, 對於橢圓曲線, 它的p-torsion部份是依賴於橢圓曲線本身的, 而並非(Z/p)^2. 有些具體的數學問題不只需要l-adic的部份, 也需要p-adic的部份. 於是, 構造一個p-adic的"好"餘調就成為必要的了.
此外, 代數幾何中的一個重要技術就是"lift". 如果有一個代數簇 over 特征 p域, 人們常常希望用特征0的域的幾何來說明這個代數簇的性質. 稱這個代數簇lifts to char. 0, 如果存在一個complete DVR R of char 0, 一個smooth variety over R, 並且special fibre是給定的variety. lift並非總存在.
Grothendieck定義了crystalline site用以解決這些問題. 他的博士生P. Berthlot的博士論文中定義了所謂的Crystalline餘調. 這個是一個"半好"的餘調理論, 因為它對singular variety表現極差. 這一問題後來被Berthelot發展的"rigid cohomology"理論所部份克服. 目前, 這套理論 (晶體/rigid 餘調) 的理論部份已經基本成型. 這裏的故事很豐富, 有很多人參與其中. 我就不一一列舉了. 只說一下最近 Abe-Caro 完成了 p-adic 的 theory of weights. 不只是" Weil II" 的理論可以用 p-adic 理論解決, "BBD" 的 perverse sheaf 理論也已經可以在這個框架下完成了.
Crystalline 餘調的一個好處是, 即使variety 本身不能lift到特征0 (witt vector), 它的晶體餘調卻是取值在witt vector裏的. 你可以假想這個variety does lift, 而且frobenius 也lift並且作用在de Rham 餘調上. 晶體餘調的取值物件是所謂的"F-isocrystal", 這是一個"半線性代數"的物件. 它的分類基於所謂"斜率". 對於"通常"的variety, 這些斜率所決定的資訊無非是variety的Hodge number; 但是對於"奇怪"的variety, i.e. 斜率不能由hodge number決定, 它們的特殊幾何就特別引人興趣. 比如, 在橢圓曲線的例子下, 奇怪的橢圓曲線稱之為"supersingular"; 在K3的例子裏,斜率最偏移的叫做supersingular K3曲面. 它們是unirational(最近由Liedke證明)的(這在特征0是不可想象的).
對於定義在有限體上的代數簇, 所以斜率無非是 Frobenius 作用下特征根的被 p 除的階數 (根據 Deligne 的 Weil 猜想的解, 它們都是代數整數). 關於晶體餘調, 或者p-adic餘調, 可以讀一下B. Mazur的下面的短文, 它是他重要工作的一個簡短介紹.
MR0330169(48 #8507) Reviewed
Mazur, B.
Frobenius and the Hodge filtration.
Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 653–667.
14G20 (10C20 14F30)
