令人血壓升高的群論錯誤使用方法都有什麽？

1. 所有子群都正規的群不一定是阿貝爾群

我們知道任意阿貝爾群的所有子群都是正規子群, 但是反之則不然: 最小的反例是四元數群 (\text{quaternion group} ) \mathbf{Q}_8 .

如果一個群的所有子群都正規, 那麽這個群被稱為 戴德金群 (\text{Dedekind group} ) , 特別地, 如果這個群是非交換群則被稱為哈密頓群 (\text{Hamiltonian group} ) . 所有阿貝爾群都是戴德金群, 而對於任意非交換群 G , 其必同構於

\mathbf{Q}_8\times\mathbf{E}_{2^n}\times T\ ,\\

其中初等阿貝爾 2 -群 (\text{elementary abelian 2-group} ) \mathbf{E}_{2^n}=(Z_2)^n 為 n 個 2 階迴圈群的直和, T 為一個所有元素都為奇數階的撓群 (\text{torsion group} ) , T 不一定是有限群但是 T 中的每個元素階都有限.

參考: \text{M.Hall} 的 \text{The Theory for Groups} 中第 190 到 192 頁.

2. 什麽時候群同構於其商群和子群的直積

初學時很容易想當然 G\cong (G/N)\times N 對於 G 的所有正規子群成立. 事實上並非如此.

在學了有限生成阿貝爾群基本定理後, 可能會以為上述等式對有限阿貝爾群成立. 不過我們很容易找到反例:

(Z_{p^2}/Z_p)\times Z_p\cong Z_p\times Z_p=\mathbf{E}_{p^2}\not\cong Z_{p^2}\ .\\

而利用有限阿貝爾群的初等因子分解, 可以直觀地得到: 如果 N 是 G 的一個初等因子, 則 G\cong (G/N)\times N .

如果限制 G 是冪零群且 N 是其 \text{Sylow} p -子群, 那麽也有 G\cong (G/N)\times N . 這是因為冪零群同構於其所有 \text{Sylow} p -子群的直積:

G_{\text{nil}}\cong \prod_{\mathbf{Syl}_{p_i}(G)=\{P_i\}} P_i\ .\\

更一般地, 如果 G\cong (G/N)\times N , 則稱 N 為 G 的一個直因子 (\text{direct factor} ) , 而且 G 是 (G/N) 和 N 的平凡擴張 (\text{trivial extension} ) .

3. G/H₁ ≌ G/H₂ 不能推出 H₁ ≌ H₂

\left.\begin{cases} \begin{aligned} \mathbf{Q}_8/\mathbf{K}_4&\cong\mathbf{Q}_8/Z_4 \\\mathbf{K}_4&\not\cong Z_4 \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

其中 \mathbf{K}_4\cong Z_2\times Z_2 是基利因 4 -群 (\text{Klein }4\text{-group} ) .

4. H₁ ≌ H₂ 不能推出 G/H₁ ≌ G/H₂

\left.\begin{cases} \begin{aligned} 2\mathbb{Z}&\cong3\mathbb{Z} \\\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\not\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{aligned} \end{cases}\right\}\ .\\

\left.\begin{cases} \begin{aligned} \left<r^2\right>\cong\ &Z_2\cong\langle s\rangle \\\mathbf{D}_8/\langle r^2\rangle\cong\mathbf{K}_4&\not\cong Z_4\cong\mathbf{D}_8/\langle s\rangle \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

其中 \mathbf{D}_n=\left<r,s\ \big|\ s^2=r^n=1,srs^{-1}=r^{-1}\right> 是階為 n 的二面體群.

5. |Aut(S₆)/Inn(S₆)|=2

對於 n\geq3 且 n\ne6 , \mathbf{Aut}(\mathbf{S}_n)=\mathbf{Inn}(\mathbf{S}_n)=\mathbf{S}_n , 其中 \mathbf{S}_n 為 n 級對稱群, \mathbf{Aut}(G) 為 G 的自同構群, \mathbf{Inn}(G) 為 G 的內自同構群.

6. 換位子群和所有換位子的集合

群 G 的所有換位子構成的集合 \{\ [x,y]\ |\ x,y\in G\ \} 不一定是換位子群 (也叫導群) G'=\langle\ [x,y]\ |\ x,y\in G\ \rangle . 群階最小的反例為 96 階群:

(\mathbf{Q}_8\times\mathbf{K}_4)\rtimes_{\varphi} Z_3=(\langle i,j\rangle\times\langle a,b\rangle)\rtimes_{\varphi}\langle y\rangle\ ,\\

具體群作用為:

\left.\begin{cases} \begin{aligned} y\cdot i&=j \\y\cdot j&=k \\y\cdot a&=b \\y\cdot b&=c \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

群 G 中不存在換位子 [x,y] 使得 [x,y]=\big((-1,a),1\big) , 但是 \big((-1,a),1\big)\in G' , 即 \big((-1,a),1\big) 在所有換位子生成 (\text{generated} ) 的群中.

7. 確定群中每一個元素的階不能確定群的結構

設 |G_1|=|G_2|=n , 且對於 n 的每個因子 k , G_1 和 G_2 中的 k 階元個數都相同, 但 G_1 和 G_2 不一定同構.

詳見: 對所有的k，k階元個數都相同的兩個同階的有限群是否一定同構？ - 知乎

8. 正規化子,中心化子,中心

內容很雜容易記混, 下面總結一下.

取 H 為 G 的一個子群, 記 \mathbf{C}_G(H) 為 H 在 G 中的中心化子, 記 \mathbf{N}_G(H) 為 H 在 G 中的正規化子, 記 \mathbf{Z}(G) 為 G 的中心, 取 g\in G 為任一元素, 取 A 為 G 的一個子集.

\left.\begin{cases}g\mathbf{C}_G(H)g^{-1}=\mathbf{C}_G(gHg^{-1})\\g\mathbf{N}_G(H)g^{-1}=\mathbf{N}_G(gHg^{-1})\end{cases}\right\}\ .

H\leqslant\mathbf{C}_G(H) 若且唯若 H 是阿貝爾群.

H\unlhd G 時有 \mathbf{C}_G(H)\unlhd G .

\mathbf{C}_G(g)=\mathbf{C}_G\big(\langle g\rangle\big)=\mathbf{N}_G(g)\leq\mathbf{N}_G\big(\langle g\rangle\big) .

\mathbf{Z}(G)\leqslant\mathbf{C}_G(A)\leqslant\mathbf{N}_G(A)\leqslant G .

\text{N/C} 定理: \mathbf{N}_G(H)/\mathbf{C}_G(H)\cong\,\leqslant\mathbf{Aut}(H) .

G/\mathbf{Z}(G)\cong\mathbf{Inn}(G) .

9. G₁×G₂ 的子群不一定是 H₁×H₂

最開始一直以為直積 G_1\times G_2 的子群一定是每個分量的子群的直積 H_1\times H_2 , 直到想起 \mathbf{K}_4=\langle a\rangle\times\langle b\rangle=\{1,a,b,ab\} 的子群 \langle ab\rangle 不能那樣表示.

不過對於 G=G_1\times G_2 的子群 H , 取投射:

\left.\begin{cases} \pi_1:H\to G_1 \\\pi_2:H\to G_2 \end{cases}\right\}\ ,\\ \left.\begin{cases} \pi_1:(h_1,h_2)\mapsto h_1 \\\pi_2:(h_1,h_2)\mapsto h_2 \end{cases}\right\}\ ,\\

則 \pi_1(G),\pi_2(G) 分別是 G_1,G_2 的子群.

10. 迴圈群的乘法群的具體結構

我們知道 \mathbf{Aut}(Z_n)\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} 且 \big|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\big|=\varphi(n) , 其中 \varphi(n) 為 \text{Euler} \varphi -函數.

初學時我便預設 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{\varphi(n)} , 直到後面算 (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} 才發現問題.

在 n\geqslant3 時, (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 有兩個 2 階元: (2^n-1) 和 (2^{n-1}-1) . 同時我們可以用反證法證明: 如果 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 是迴圈群, 那麽它只有唯一一個 2 階元, 匯出矛盾, 所以 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 並非迴圈群. 實際上, 在 n\geqslant3 時, 有:

(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{2^{n-2}}\times Z_2\ ,\\

而且 5 是 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 中的一個 2^{n-2} 階元.

而對於任意奇質數 p , 有:

(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{p^{n-1}(p-1)}\cong Z_{p^{n-1}}\times Z_{p-1}\ ,\\

而且 (1+p) 是 (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times} 中的一個 p^{n-1} 階元.

最後, 如果 n 的素因子乘積分解為 n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i} , 則有:

(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\cong\prod_{i=1}^k \left(\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\right)^{\times}\ .\\

11. 群展示結合群階證明群同構

群展示 (\text{group presentation} ) 利用群的生成元 (\text{generator} ) 和關系 (\text{relation} ) 給出了一種簡潔明了的描述一個具體的群的方式.

現在已知有限群 G 的群展示為:

G=\langle\ g_1,\dots,g_m\ |\ r_1=\cdots=r_n=1\ \rangle\ ,\\

如果我們要證明另一個群 H 與 G 是同構的的話, 那麽我們可以先證明 |G|=|H| , 再找出 H 的生成元並驗證它們是否滿足生成元之間的關系.

註意, 驗證過程中驗證 |G|=|H| 是必要的, 因為群展示是由指定的生成元和關系所生成的 「 最大 」 的群. 舉個例子, 迴圈群 Z_4 有群展示:

Z_4=\left<\ x\ \left|\ x^4=1\ \right>\right.\ ,\\

而迴圈群 Z_2 也只有一個生成元且同樣滿足關系 x^4=1 , 但 Z_2\not\cong Z_4 .

12. 群的自同構和域的自同構

群的自同構只保持了一種運算的同態, 而域的自同構保持了加法同態和乘法同態:

\sigma\in\mathbf{Aut}(F_{\text{field}}):\left.\begin{cases} \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)\\\sigma(a\cdot b)=\sigma(a)\cdot\sigma(b) \end{cases}\right\}\text{ for all }a,b\in F\ .\\

舉個例子:

\begin{aligned} &\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^{\times} \\\cong&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \\=&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{F}_p^+) \\\not\cong&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{F}_p) \\\cong&\,1\ . \end{aligned}\\

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