更新：知乎小透明第一次擁有這麽多贊，受寵若驚，感謝大家的點贊。筆者目前只是個學生，沒有足夠能力獨自解決這個問題，在參考了C. E. Siewert和E. E. Burniston兩位大佬的paper [1] 後才寫下這篇回答。至於評論區提到的關於答案化簡的問題，請參考醬紫君大佬的這篇文章 [2] ，裏麪包含了若幹種其他形式的解析解以及相應的數值驗證，在此貼出，以饗各位讀者。
一、介紹
x=\cos x\Rightarrow x-\frac{\pi}{2}=\cos({x-\frac{\pi}{2}})=\sin x
這個方程式的一般形式叫做 開普勒方程式 ( Kepler’s equation ) [3] ， 開普勒方程式是天體力學研究的基礎，因此幾個世紀以來一直備受關註。對於橢圓軌域，開普勒方程式通常寫成：
e \sin E=E-M \tag{1}\\
對於雙曲軌域，開普勒方程式通常寫成：
e \sinh F=F+N \tag{2} \\
其中，輔助圓軌域上假想質點所轉過的角度\angle M 被稱為 平近點角 [4] ，
參考
- ^ An exact analytical solution of Kepler's Equation https://link.springer.com/article/10.1007/BF01231473
- ^ x = cos x 的解析形式 https://zhuanlan.zhihu.com/p/36297534
- ^ 開普勒方程式 https://zh.wikipedia.org/zh-hans/開普勒方程
- ^ 平近點角 https://baike.baidu.com/item/平近点角/5984710
