首先，易知(不嚴格地)，在大於2 的自然數中任性選一個數，則其為偶數的概率應該是
P_1=\frac{1}{2}.
而在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們有公因數 2 (即兩個數均為偶數)的概率應該是
P_2=P_1P_1=\frac{1}{2^2}.
那麽在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們沒有公因數 2 的概率就是
P_{31}=1-P_2=1-\frac{1}{2^2}.
同理，在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們沒有公因數 3 的概率是
P_{32}=1-\frac{1}{3^2}.
在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們沒有公因數 5 的概率是
P_{33}=1-\frac{1}{5^2}.
以此類推，在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們沒有第 k 個質數公因數 p_k 的概率是
P_{3k}=1-\frac{1}{p_k^2}.
而要是這兩個數互質，則所有質數都應該不是它們的公因數，這樣，它們除了 1 外再無公因數，因此，在大於2 的自然數中任選兩個數，則它們互質的概率是
P=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_k^2}\right).
其中 p_k 為第 k 個質數。
而由 \text{Euler} 乘積公式可知
\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_k^s}\right)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\zeta(s).
因此
P=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^{-1}=\frac{6}{\pi^2}.
