謝邀, 關於這個問題, 回顧數系是怎麽構建起來的, 就顯而易見了. 原本打算留到寫專欄文章時來解釋, 遲遲未動手, 就借著這個答案來說說.
0. 概述
要了解" 0 為什麽不能做除數? "這個問題. 我們有必要回顧一下數碼(從 自然數 , 整數 , 有理數 , 到實數 , 復數 )是如何"誕生的". 考慮到以回答這個問題為主, 以及篇幅問題, 我們就只談到有理數為止(到這裏已經足夠了.)
為此, 我們先了解兩個需要了解的知識點.
0.1. Z-F 集合論之無窮公理
Z-F 集合論九條公理確立了集合論的基礎, 這些公理分別說明了集合的 表示 , 構造 方法, 以及 性質. 其中, 數碼誕生的起點, 就是其中的" 無窮公理 ":
(\mathbf{Axiom~of~infinity})~\exists\omega, \emptyset\in\omega\wedge\forall x(x\in \omega\rightarrow x\cup\{x\}\in \omega).無窮公理肯定了無限集的存在 .
0.2. 等價關系與商集
數學中, 有一種關系可以說是最基礎, 最常見的, 那就是 等價關系 . 定義集合 A 上一個關系" \sim "稱為 等價 , 當其滿足以下三條性質:
1. ( 自反 ) \forall x\in A, x\sim x ;2. ( 對稱 ) \forall x, y\in A , 若 x\sim y , 則亦有 y\sim x ;
3. ( 傳遞 ) \forall x, y, z\in A , 若 x\sim y, y\sim z, 則有 x\sim z .
一個 集合 A 中的元素, 可以借由定義其上的一個等價關系進行分類 (也就是說, 等價的的元素歸為同一類, 稱為 等價類 ), 由這些等價類構成的集合, 稱為集合 A 的 商集 .
舉個例子:
可以驗證"同余"是正整數集上的一個等價關系, 我們如用"模7同余", 可以將所有的正整數分為 7 個同余(等價)類, 我們可以給他們命名, 比如七個類分別為"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天".有了以上知識, 現在可以開始構建數碼了.
1. 自然數, 整數, 有理數的構造
1.1. 自然數集 .
由無限性公理, 我們可以自然匯出以下無窮集合: \{\emptyset,\emptyset\cup\{\emptyset\},\cdots\} , 我們可以給這個集合中的元素命個名:
0=\emptyset ;
1=\emptyset\cup\{\emptyset\} ,
2= 1\cup\{1\}=\emptyset\cup\{\emptyset\}\cup\{\emptyset\cup\{\emptyset\}\}
........
就這樣, 我們就有了自然數集. 我們用 \mathbb{N} 表示.
1.2. 整數集
由 \mathbb{N} , 可以按照以下等價關系構成 商集 (\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim :
(m,n)\sim(m',n') 若且唯若 m+n'=m'+n .其中加法為一般意義上的加法. 容易驗證這是一個等價關系. 它在 \mathbb{N}\times\mathbb{N} 這個集合上生成的商集是什麽樣的呢? 舉幾個例子:
(1,0)\sim (2,1)\sim(3,2)...
(0,1)\sim(1,2)\sim(2,3)...
可以試試看, 以上兩個例子中, 六個元素就分別在兩個不同的等價類中, 我們可以取每個等價類中的一個代表元素來代表這個類, 事實上, 上面兩例就是整數 1 和整數 -1 .
自此, 我們就有了整數集 \mathbb{Z}:=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\} .
1.3 (高能預警)~~有理數集
由 \mathbb{Z} , 我們可以按照以下等價關系構造 商集 (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim :
(m,n)\sim(p,q) 若且唯若 mq=np .其中乘法為整數集中一般意義的乘法. 容易驗證這是一個等價關系.
( 重點來了 ), 這裏有兩件事值得註意:
第一 , 就是這個等價關系是 \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}) 上的, 對於其中任意的元素(有序二元組) (m,n) , 其第二分量是不能為零的.
第二 , 一般書籍上說, 有理數定義為既約分數 p/q 形式 . 這裏構造商集的等價關系, 若改用"除法"的形式寫出來, 正是隱含了這個意思. 舉個例子:
\frac{1}{2}:=(1,2)\sim(2,4)\sim(3,6).....
就這樣, 我們定義出了有理數集 \mathbb{Q} .
3. 回歸問題本身
那麽現在我們來看看題主原來的問題: 為什麽 0 不能用作除數?
我們看看有理數集的定義, 若是允許 0 做除數, 也就是說, 我們讓以上等價關系定義在 \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} 上, 而不是\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}) 上, 會出現什麽結果?
首先, (0,0)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} , 這是顯然的. 那麽用以上等價關系將 \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} 分類, 會做出幾類呢?
我們看看哈......隨便舉一例....
(0,0)\sim(1,2)\sim(8,2).....
完蛋了, 任意元素都和 (0,0) 等價!!!, 這就是說, 所有元素只歸為了一類!!! 我們要幹的事情不是要擴充數體嗎???? 只歸為一類這不就毫無意義了嗎????
到這裏, 大家是不是就明白了, 為什麽不能用 0 做除數的原因了呢? 至於之後的實數, 復數, 都是進一步在有理數上透過相應的等價關系構造商集而生成, 自然, 這個性質也就繼承下來了.
寫完答案一看, 哈, 2019年了. 那就以此回答開年, 從「 0 」開始, 祝大家在新一年學有所成. 新年快樂了!!!
2019.1.1 淩晨00:20
