最近，數學天才少女姜萍的故事，引發了大量對數學的討論——盡管數學可能有些難懂，但它對人類社會的貢獻無疑是巨大的。例如，數學模型可以描述冷空氣如何移動，可以分析股票價格的漲跌，甚至預測人群中疾病傳播的變化。
數學在身邊
在某些時候，幾乎每個人都在不知不覺中使用這樣的模型。就像當你想知道在長途旅行中需要停在在哪裏加油，你就會使用到一個簡單的數學方程式：裏程數除以百公裏耗油量，當然如果距離足夠遠，你還需要考慮到你的油箱容量，而如果是高原，你可能還需要考慮到氧氣的影響。
可以說，當你使用數學來研究某個問題時，你實際上是在把事物分解成最基本的邏輯。對研究數學的人來說，這無疑是最讓人著迷的部份。
今天我們要討論的是數學模型在應對大流行病中發揮的重要作用。
第一個傳染病模型
第一個關於傳染病的數學模型是18世紀初的天花模型。
■ 1980年世界衛生組織宣布根除天花的海報 / 世界衛生組織
當時，歐洲醫生們了解到牛痘接種，這是一種透過從牛痘病變中提取膿液，然後將膿液轉移到健康人身上以誘導免疫力預防天花的有效方法。但在開始大規模接種之前，人們還是希望弄清楚牛痘接種法的好處是否大於其風險，因為的確有一小部份人出現了比預期更嚴重的天花癥狀甚至死亡。
瑞士人丹尼爾·白努利透過分析死亡數據建立了相關數學模型。他首先假設如果牛痘接種法能幫助人們建立對天花的免疫能力並且沒有風險，那麽大規模接種疫苗，將使人類的平均預期壽命增加近12%，也就是三年多一點。在那個年代，這是一個相當了不起的數碼——從大約26歲零7個月增加到大約29歲零9個月！
而為了讓懷疑論者相信「人造天花」的好處大於它的風險，白努利還進行計算了另外一種情況——每200個接種牛痘的人中就會有一個人死亡——在這種遠比現實數據還要殘酷得多的條件下，人類預期壽命依然大幅增長，僅僅比之前的情況減少了約兩個月，這意味著人們的平均壽命仍然會延長7.5%。
這些激動人心的數據，最終讓大規模接種成功推行，也最終讓天花寫入了歷史。
瘧疾與R0的發現
流行病學家經常使用的一個關鍵統計數據是「基本傳染數」，它更被人們熟悉的名字則是R0。簡單來說，R0講述了一個關於傳播途徑的故事：人們是如何被感染的，又是如何康復的？
如果一種疾病的R0小於1，那意味著感染數量將隨著時間越來越少。一旦已經感染的人康復（或死亡），這種流行病也將最終消失。但是，如果一種疾病的R0大於1，比如說10，那這就意味著每個感染者將可能傳染10個人，毫無疑問，這種疾病將會迎來大暴發。
R0的發現，源於防治瘧疾的努力。1902年，朗奴·羅斯因發現瘧疾是透過蚊子傳播而獲得諾貝爾生理學或醫學獎。然而，這個發現不免讓衛生官員擔心瘧疾是一個不可能戰勝的疾病，甚至開始擔憂是否要想辦法消滅所有的蚊子來根除這種疾病。
但是，透過羅斯的數學模型證明，只要將蚊子數量減少到一個臨界水平以下（R0小於1）就足夠了。
步驟1：蚊子叮咬和傳播
每當蚊子叮咬一個感染了瘧疾的人時，它就有可能在吸血的過程中攜帶上瘧原蟲。接下來，當這個帶有瘧原蟲的蚊子再去叮咬另一個健康人時，它就可能把瘧疾傳染給這個人。這裏存在著兩個概率：
蚊子叮咬人的概率。
攜帶瘧原蟲的蚊子成功把瘧疾傳給人的概率。
步驟2：蚊子的壽命和傳染能力
接下來我們考慮的是蚊子的壽命和傳染能力。蚊子每天都有一定的存活概率，它們需要在體內攜帶瘧原蟲一段時間（孵化期）後才能把瘧疾傳給人。因此，蚊子的存活率直接影響它們傳播瘧疾的能力。如果蚊子能存活更長時間，它們就有更高的機率傳染更多的人。
步驟3：人與蚊子的關系
每個人周圍有一定數量的蚊子，每只蚊子每天可能叮咬幾個人。我們可以把這些因素結合起來，就能計算出一個感染者每天能傳染給多少人的理論值。
將上述所有因素組合在一起之後，我們就能夠清楚地發現瘧疾的傳播與蚊子數量、蚊子叮咬人的頻率、傳染概率以及蚊子的存活率和孵化期都有關，因此， 我們並不需要完全消滅蚊子，而只是需要減少蚊子的數量或者減少它們叮咬人和傳播瘧疾的機會即可。
這些重要的發現，最終指導了瘧疾的防控措施，例如懸掛蚊帳、噴灑殺蟲劑、減少居住地附近的水塘、在15天內阻斷瘧疾傳播等等。
■ 防蚊海報 / U.S. Public Health Service
預測流行病的傳播
為了阻止疾病的爆發，流行病學家建立了有關疾病傳播的數學模型。SIR模型是其中一個重要的模型，至今仍在使用。該模型幫助科學家分析流行病是如何在「易感人群」、「受感染人群」和「恢復人群」之間傳播和變化。
在SIR模型中，易感人群（S）指的是尚未感染但有可能感染疾病的人群；受感染人群（I）指的是已經感染且能夠傳播疾病的人群；恢復人群（R）指的是已經從疾病中恢復且具有免疫力的人群。理論上，所有流行病最終都會消失，因為易感人群的數量最終會減少到零——所有人要麽會被感染並康復，要麽會因為疾病死亡。然而，現實中並非如此，因為只要有足夠多的新生兒出生，疫情就會繼續。
例如，在有效疫苗出現之前，歐洲經常發生致命的麻疹暴發，但各國的暴發周期卻出奇地不同。最終，衛生官員發現這些周期與出生率密切相關：新生兒特別容易感染麻疹，所以如果一個國家的出生率上升，麻疹的發病率也會上升。這一發現幫助科學家和公共衛生官員理解並預測麻疹的暴發周期，從而制定更有效的疫苗接種策略。
■ 宣傳防治麻疹和脊髓灰質炎等疾病的海報 / Ministry of Health and Social Services Bermuda
另一個例子是流感（Influenza）。流感病毒具有高度變異性，每年都會有不同的流感病毒株流行。在研究流感傳播時，SIR模型幫助科學家理解季節性流感的傳播模式和疫苗接種的重要性，並能夠透過模型預測，最佳化每年的流感疫苗株選擇，從而提升疫苗的有效性。
此外，SIR模型還在研究新興傳染病時發揮了重要作用。2003年的非典（SARS）疫情中，科學家利用SIR模型模擬了病毒的傳播過程，評估了隔離措施和公眾衛生幹預的效果。類似地，在2014-2016年的西非埃博拉疫情期間，SIR模型幫助預測了疫情的蔓延，並指導了國際社會的應對策略。
在新冠疫情中，SIR模型及其改進版本也被廣泛套用。科學家利用這些模型模擬疫情的傳播，評估社交隔離、口罩佩戴、疫苗接種等防控措施的效果。這些模型為政策制定者提供了科學依據，幫助他們在疫情防控中做出明智決策。
作為一名普通的數學愛好者，我深知數學不僅是由抽象符號和方程式組成的學科，更是一種獨特的視角，讓我們以全新的方式觀察世界、分析問題。數學能夠幫助我們更高效地理解和解決現實中的諸多問題。我真心希望更多人能關註數學在探索未知世界中所發揮的重要作用，這將帶你領略一個更廣闊、更有趣的世界。
