根據導數的定義：
f'(x)={\rm \lim_{\Delta x \rightarrow 0}}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \tag1
可以得到：
({\rm ln} x)'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{{\rm ln}(x+\Delta x)-{\rm ln}x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{{\rm ln}{\frac{(x+\Delta x)}{x}}}{\Delta x} =\frac{1}{x}\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\rm ln}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \tag2
註意，根據對數的定義有x>0。現討論 \Delta x>0 的情況：
此時上式可以等價於：
({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}[{\lim_{t \rightarrow +\infty}}(1+\frac{1}{t})^t] \tag3
而當 \Delta x<0 時：
({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}[{\lim_{t \rightarrow -\infty}}(1+\frac{1}{t})^t] \tag4
現需要求（3）和（4）的值：
對於（3）：設正整數n滿足n≤t<n+1，則顯然有：
(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{t})^t<(1+\frac{1}{n})^{n+1} \tag5
根據e的定義： e=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n})^n} ，有：（註意，數列極限這個是e的定義不是結論）
\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n+1})^n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n+1})^n} =\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=e \tag6
\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}(1+\frac{1}{n}) =e \tag7
由夾逼準則可以得到：
{\lim_{t \rightarrow +\infty}}(1+\frac{1}{t})^t=e \tag8
同理可以得到t<0時的結論，可得： {\lim_{t \rightarrow -\infty}}(1+\frac{1}{t})^t=e \tag9
最終可得： ({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}e=\frac{1}{x} \tag{10}
註意：因為題設要求求證 ({\rm ln}x)'=\frac{1}{x} ，所以在(2)中不能使用洛必達法則或者等價無窮小進行替換，否則涉及迴圈論證……當然你先去證明等價無窮小的另當別論……
