在電路中，要表示交流電通常有兩個方法。
一種是直接用函數運算式： U=V_mcos(\omega t+\varphi) 。但是這種方法基本上沒有人用，因為直接用運算式計算電路問題就太復雜了。舉個例子：
像是這樣一個十分簡單的電路，只有一個交流電源，一個電阻和一個電感。如果我要計算這個電路中的電流的話需要列這樣一個微分方程式：
L\frac{di}{dt}+Ri=V_mcos(\omega t +\varphi)
其中，又因為在含有電感的電路中，電流不能突變，所以可得到初始條件：
i|_{t=0}=0
聯立解出來電流的函數運算式為i=\frac{-V_m}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}cos(\varphi-\theta)e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}cos(\omega t+\varphi-\theta)
其中 tan\theta=\frac{\omega L}{R} 。
當時我學到這裏的時候頭都要炸了。其中這個微分方程式的求解過程也是非常繁瑣的。而且這在電路中已經算是非常非常簡單的電路了，如果這個電路在稍微復雜一點，可能求出來的解就已經復雜到沒有什麽實際價值了。
那麽有沒有方法可以簡化一下這個問題呢？
首先，很多時候我們並不需要求這個系統隨時間變化的過程，而只是需要這個系統最後的穩態解。
像是這個例子中，我們很容易就可以發現，當時間趨向於無窮時， \lim_{t\to \infty}i=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}cos(\omega t+\varphi-\theta) 。
也就是說當時間無限增大時，電流趨向於一個三角函數，前面的那一項為0。在研究一般具體的電路問題時，電路達到穩態所用的時間一般都是很短的。所以我們就很自然的想到，如果要求出穩態解，有沒有什麽簡單的辦法？
這個時候我們可以大膽想象，既然交流電的形式時三角函數，而根據歐拉公式，在復數體中三角函數又和指數函數有著千絲萬縷的聯系，那我們可以用一個復數來表示這個這個電壓。 U=V_mcos{(\omega t+\varphi)}=V_mRe\{e^{j(\omega t+\varphi)}\}=V_mRe\{e^{j\omega t}e^{j\varphi}\} 。
在電路中，由於 i 已經用於表示電流，所以我們一般用 j 來表示虛數單位。一般來說，交流電路中的線性元件不改變電流電壓的頻率，所以這裏我們還可以在簡化，只用電壓的相位角和峰值來表示電壓。然後將電壓的頻率單獨給出。所以我們用一個復數 \textbf{V} 來表示電壓，並定義：
\textbf{V}=V_m(cos\varphi+jsin\varphi) 。通常簡寫為 V_m\angle\varphi 。同理，電流也可以表示為 I_m\angle\varphi
這樣表示的最大的一個好處就在於我們可以用簡單的線性關系，來描述電容和電感了。
以剛才的電感為例我們知道電感兩端的電壓滿足 U=L\frac{di}{dt}
如果電流的變化關系為 i=I_mcos(\omega t+\varphi)
那麽電壓就為 U=L(-\omega I_msin(\omega t+\varphi))
稍微變化一下： U=-\omega LI_mcos(\omega t+\varphi -\frac{\pi}{2})
這時候，我們如果都用復數表示電壓和電流，就可以發現：
\textbf{V}=-\omega L I_me^{j(\varphi-\frac{\pi}{2})} \hspace{14pt}\\=-\omega LI_me^{j\varphi}e^{-j\frac{\pi}{2}} \\=j\omega L I_me^{j\varphi}\\=j\omega L \textbf{I}
其中 e^{-j\frac{\pi}{2}}=cos\frac{\pi}{2}-jsin\frac{\pi}{2}=-j 。
這時候我們很神奇的看到， 如果都用復數來表示電壓和電流，那麽電壓和電流之間就是非常簡單的線性關系 。他們的比值也就被定義為感抗。
這時候我們在回到一開始的那個問題
對於電阻來說，無論什麽時候電流和電壓都是線性關系，比值為 R 。而電感兩端的電壓電流之比如果用復數來表述，也是一個定值 j\omega L 。那麽電流就可以簡單的用電壓和電抗的比值來求：
i=\frac{V_m\angle\varphi}{R+j\omega L}=\frac{V_m\angle\varphi}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\angle \theta}=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}}\angle \varphi-\angle\theta 。
這裏我簡寫了一下，因為復數的運算時模相除，角相減。
再把它化成函數運算式的形式就是 i=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}cos(\omega t+\varphi-\theta) ，和之前用微分方程式求出的結果一樣。
很顯然，我們的計算過程被大幅簡化了。
用復數表示交變電流的好處還不止於此，希望你以後也可以自己多多了解一下。
