因为写教材的人水平不够或者太高，所以解释不清楚或者不屑于解释。
微分乃至积分这些符号以及其造成的初学者疑惑其实是历史遗留问题，因为微积分最初被发明时确实是建立在无穷小这个不严谨的概念上的。而且不可否认，无穷小确实是挺直观的一种理解方式，所以莱布尼兹发明的微积分符号就因为其简洁性与直观性被沿用至今。如你所说，无穷小的不严谨性导致了第二次数学危机，直到柯西等数学家引入极限的概念做了一次overhaul，微积分的严谨性才得到解决。但是因为使用者的惯性，莱布尼兹的微积分符号本身依然被使用，甚至因为其直观性被引申到勒贝格积分中。
回到你的问题，简单点说，微积分经过极限概念的重新定义，对于一个函数 y=f(x) ，dx 和dy 不再代表无穷小量，而是可以是任意大小的，因为我们应该关注的是由极限定义的导数 f’(x) 而不是小不小的问题。所谓的微分 dy=f’(x)dx ，现在表示函数的 线性分量 ，即函数泰勒展开的第二项。
此外值得一提的是，导数的莱布尼兹分数表示法 \frac{dy}{dx} 现在除了便于特定情况下的标注和理解，如在工科中的应用以外，也是没有实际意义的，因为它不是一个商而是一个极限。之所以看上去能和其它分数表示的导数做运算，只是因为得到chain rule的保证而已。
详细的解释可以参考 Richard Courant - Introduction to Calculus and Analysis Volume I 的第 2.1 节末尾和 2.8 节的 j 段，或者Wikipedia: Differential of a Function。强烈建议阅读。以后碰到这种定义模糊的问题请善用互联网，搜寻英文教材，中文教材一般良莠不齐的。
