代数几何有一种魔力，就是研究几何的人不知不觉就会发现自己的研究跟代数几何关联起来了。
我提供几个例子：经典物理学里面，给定一个相空间上的哈密顿量 H\colon\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R} ，我们会得到一个水平集 H^{-1} (c) 的叶状结构以及每个水平集上的哈密顿向量场 X_H . 如果我们可以找到 n 个互相交换的哈密顿量 H_1 ,H_2 ,\dotsb ,H_n ，那么根据Frobenius定理，我们就会在每个水平集 H_1^{-1} (c)\cap\dotsb\cap H_n^{-1} (c) 上得到一个 \mathbb{R}^n -作用。如果我们的相空间是紧的（非物理的），那么我们就得到了一个映射 p\colon X^{2n}\to\mathbb{R}^n ，并且Atiyah-Guillemin-Sternberg定理告诉我们，这个像集一定是一个凸多边形。这个凸多边形就给出了这种带有环 (\mathbb{S}^1)^n 作用的紧辛流形的组合描述.
另一边，在代数几何上，我们说一个algebraic variety X 是 toric ，如果它有一个Zariski开子集 U\subseteq X 同构于某个代数环 (\mathbb{C}^{\ast} )^n . 这种variety也有一种组合描述：对 \mathbb{R}^n 里面的 n 个线性独立向量 v_1 ,v_2,\dotsb ,v_n\in\mathbb{Z}^n\subseteq\mathbb{R}^n ，我们可以将它们生成的锥 \sigma=\{a_1v_1 +a_2v_2+\dotsb+a_n v_n\vert a,b\geq 0\}\subseteq\mathbb{R}^n 对应到一个代数簇 \mathrm{Spec}\ \mathbb{C} [S_{\sigma}] , 其中 S_{\sigma} 是 \sigma 上为正数且在格点 \mathbb{Z}^n 上为整数的线性函数构成的半群. 如果两个锥关于某个面相交，则我们按照相交的信息来粘贴对应的仿射概形。通过这样的构造我们可以最后通过这种fan，即这些锥的并，还原出 X . 这就给出了 X 的组合描述. Kempf-Ness定理说明，这两者是等价的：即第二段所述辛流形就是一个toric variety；更一般的，约化群 G^{\mathbb{C}} 在一个代数簇 X 上作用的GIT商 X//G^{\mathbb{C}} 跟对应的紧李群 G 在辛流形 X 上作用的辛商 \mu^{-1} (c)/G 是等价的：这里 \mu\colon X\to\mathbb{R}^n 是上文所说的「推广的」动量映射.
这种例子还有很多，比如对一个辛流形 (X,\omega) ，我们可以通过数全纯曲线定义它的 Gromov-Witten不变量 GW_{g,k} (X,\omega ) ，物理上看就是 k -点协相关函数 \int_{\mathcal{F}} e^{-2\pi i\omega (u)}\xi_1\wedge\xi_2\wedge\dotsb\wedge\xi_k 的一个「有限维模型」，但是另一方面我们可以纯代数几何地考虑这个问题：因为当 X 本身带有可积复结构的时候，全纯曲线也可以认为是一个代数曲线，从而我们可以考虑 稳定映射 f\colon \bm{u}\to X 的模空间：这里 \bm{u} 是自同构群有限的（可能带有nodal singularity）的固定亏格的代数曲线，这个问题也就约化成对 (X,\mathcal{O}_X) 上面给定的一些上同调类，它们拉回到这个模空间上做cup积之后跟这个模空间的「基本类」的配对。代数几何里面有（更让人容易理解的）办法来处理奇异和高亏格的情况下这种模空间的基本类定义（注意到如果流形本身是奇异的，我们还可以按照Griffith-Harris那样定义基本类，但是当这个空间本身不是流形的时候，寻找基本类就变成了一个非常困难的问题——微分几何和代数几何都不约而同地采用了某种「扰动」的办法，来得到一个「虚拟基本类」，并且将其看作是真正的基本类），并且它对代数几何的研究本身也有帮助：Kontsevich因为Gromov-Witten不变量的计算导出一些情形下代数曲线计数的递推公式而获得菲尔兹奖。
由于电量的原因我就不写这么多了。实际上例子还有非常多，很多几何拓扑的问题都会在某个时候和代数几何产生联系，所以看上去就好像所有人「都在学习代数几何」了。
