遊戲 2048 的理論最高分是多少？

2014-06-18遊戲

我來寫個帶推導過程的答案吧。2048的玩法就不贅述了，先來看看相關的規則，因為是Gabriele Cirulli讓這個遊戲火起來的，以他的原始碼為準(Gabriele Cirulli的版本的地址：

2048

)。

記分規則 ：在

2048/game_manager.js at master · gabrielecirulli/2048 · GitHub

中的167行：

self . score += merged . value ;

分數就是累加遊戲過程中新合成方塊的數值。

新方塊出現的規則 ：在

2048/game_manager.js at master · gabrielecirulli/2048 · GitHub

的71行：

var value = Math . random () < 0.9 ? 2 : 4 ;

新方塊的取值集為{2, 4}，其中4出現的機率是0.1。

題主的第一問： 如果到2048不繼續，那麽最高分是多少？

2048肯定是由兩個1024合成的，所以在合成2048的這一步，記分是2048，同樣1024也是由合成得到的，所以在得到兩個1024的這兩步，積分是1024*2=2048，以此類推，在>4的情況下，每一步分解的逆過程都會積2048分。註意到題主問的是理論最高分，我們當然希望盡可能多的合成新方塊，所以不希望4是直接生成的，應該都是由2合成的。假設題主運氣足夠好，玩的過程中出現的新方塊都是2，那麽基於以上推導，從2一路合成到2048，理論上的最高分為：

\[2048\times \left( {{\log }_{2}}\left( 2048 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2 \right) \right)={{2}^{11}}\times \left( 11-1 \right)=\text{20480}\]

對於任意從2開始合成的\[{{2}^{N}}\] 這個公式可以推廣為：

\[{{2}^{N}}\times \left( N-1 \right)\]

題主的第二問： 如果繼續，那麽最高分是多少？

要回答這個問題首先要來看2048理論上能達到最終布局是怎麽樣的，假設能達到的最大的數值為\[{{2}^{N}}\] ，那麽在最後一步合成\[{{2}^{N}}\] 時一定是占兩格的兩個\[{{2}^{N-1}}\] ，那麽對這兩個\[{{2}^{N-1}}\] 做最小的展開，也就是保持一個不變，另一個展開為兩個\[{{2}^{N-2}}\] ……如下所示：

\[{{2}^{N}}\xleftarrow{\text{merge}}{{2}^{N-1}},{{2}^{N-1}}\xleftarrow{\text{merge}}{{2}^{N-1}},{{2}^{N-2}},{{2}^{N-2}}\xleftarrow{\text{merge}}\cdots \xleftarrow{\text{merge}}{{2}^{N-1}},{{2}^{N-2}},\cdots 16,8,4,4\]

所以依次類推如果要合成\[{{2}^{N}}\] ，則需要一直展開一個相鄰的方塊序列直到遊戲能產生的方塊值，其中序列長度由要展開的級數的初始值決定，比如要展開到\[{{2}^{N-M}}\] ，則需要的序列長度是\[M+1\] ,因為遊戲一共16個格子，所以\[M+1=16\] ，則\[M=15\] 。考慮到需要最大值，所以認為在這樣一個序列中，遊戲產生的方塊是兩個4，那麽\[{{2}^{N-M}}={{2}^{N-15}}={{2}^{2}}=4\] ，則\[N=17\] ，所以遊戲能達到的方塊最大值是\[{{2}^{17}}=\text{131072}\] 。同樣道理，當一個131072已經產生之後，還剩下15個格子，那麽這種情況下能產生的最大值為65536，依此類推，14個格子能合成的最大值是32768，……所以理論上最大值的情況一定是前15個格子的值依次為\[{{2}^{17}},{{2}^{16}},{{2}^{15}},\cdots ,{{2}^{4}},{{2}^{3}}\] ，也就是\[131072,65536,32768,\cdots ,16,8\] ，而最後一個格子是2或者4。前面好多答主也貼過最後的局面，我這裏也貼一例(圖用我自己寫的

蛋疼99行程式碼Python版2048

畫的)：