這個問題非常有意思，高贊答主們從各個角度描述了對數函式的定義及其導數，但是其核心問題還是沒有解決，即 對數函式 \ln x 為什麽在某些方面 像一個冪函式（ x^0 ） 。
咋看之下這似乎是無稽之談，x^0 明明等於 1 ，而其它的冪函式的定義也跟對數函式全然不同，除了對數函式的導數也是冪函式之外，似乎就沒有其它相似之處了。
不過非常恰巧，我前段時間對各種不同的平均做了一點點研究，裏頭也有非常類似的「 對數函式表現的像一個冪函式 」的行為，不過讀者需要先花一點點時間了解一下什麽是 冪平均 。
對於兩個正實數 a 和 b ，我們知道他們的 算術平均 是 \frac{a+b}{2} ， 幾何平均 是 \sqrt{ab} ，並且有算術幾何平均不等式： \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} ，這是中學數學的範疇。
到了大學之後，偶爾我們會遇到另一種平均值： 均方根 (root mean square, RMS)，即\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ，不過理解這個平均值依然只需要中學數學知識就夠了：假設 a\le b （下同），不難發現 a=\sqrt{\frac{a^2+a^2}{2}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le\sqrt{\frac{b^2+b^2}{2}}=b ，所以\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} 確實介於a 和 b 之間，可以當作是某種平均值。
有了均方根，我們很容易就想到，如果把二次方改成三次方行不行？四次方、五次方呢？這就很容易匯出了 冪平均 的概念： M_n=\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}} 。這樣一下子就把算術平均、均方根，推廣了無窮多種平均值，只要代入不同的 n 就可以了，比如 調和平均 就也被包含了進來： \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2})^{-1} 。
冪平均還有一個很有意思的性質，從圖上也可以看出來，就是它關於 n 是單調的。事實上，如果 n 趨向於正（負）無窮，那麽冪平均就會趨向於 b ( a )。對於任何有限的n ，則冪平均始終在 a 和 b 之間。
我們甚至可以對冪平均再做一次推廣，把冪函式換成任意函式，把求根換成該函式的逆函式，就得到 擬算術平均 (quasi-arithmetic mean)，又叫 廣義f-平均 (generalized f-mean): M_f=f^{-1}(\frac{f(a)+f(b)}{2}) ，冪平均就對應於 f(x)=x^n 時的情形。
好了，現在背景知識都介紹完了，這與本來的問題有什麽關系呢？
別急，我們剛剛忘了提幾何平均了，既然冪平均可以一直從 a 走到 b ，那幾何平均在其中的什麽位置呢？
也許你已經猜到了，幾何平均就在 n=0 的位置！
註意到冪平均在 n=0 處是沒有定義的，因為不能開零次方根，但是我們可以用極限的角度定義 M_0=\lim_{n\rightarrow0}{M_n}=\sqrt{ab} 。
證明其實不難，只要註意到對於任意的 n>0 ，我們有 \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}}\ge \sqrt[n]{\sqrt{a^nb^n}}=\sqrt{ab} ，而由於 x^{\frac1n} 當 n<0 時是單調減的所以不等號要反過來，就可以知道 \sqrt{ab} 只能在在 n=0 的位置了。
所以按照冪平均與 f(x)=x^n 的對應關系， \sqrt{ab} 似乎對應於f(x)=x^0 對應的廣義平均。然而事實上，\sqrt{ab}=\exp(\frac{\ln a+\ln b}2) 是f(x)=\ln x 下的廣義平均。這麽一看 \ln x 是不是跟冪函式 x^0 有了某些奇怪的相似關系了？
事實上，冪平均（包含 n=0 的特殊情形幾何平均）是唯一一種滿足 齊次性 的擬算術平均。什麽是齊次性呢？簡單地說， 2m （兩米）跟 3m 的平均值，根據平均值的定義方式的不同，不一定是 2.5m ，也許是比方說 2.3m 。但是如果我們把這兩個數換個單位，那麽齊次性要求 200cm 跟 300cm 在同一個定義下，平均值必須是 230cm 。換句話說， 我們要求平均值 M(a,b) 滿足M(200, 300)=100M(2,3) ，或者更一般的， M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b) ，這就是（一次）齊次性。
這個齊次性的要求既自然又苛刻，事實上，只要我們要求廣義平均滿足齊次性，可以證明 f(x) 只能是冪函式 x^n 或者對數函式 \ln x ，頂多加上一個常數因子。其它的函式比如指數函式等都是不滿足這個性質的。
所以說，對數函式與冪函式的關系遠比表面上看起來更加復雜，其中更深入的關系還望有學數學的大神前來揭秘。
竟然這麽多人看，趁機推銷一下我自己寫的段子好了
