2020-07-10
Sturm -Liouville theorem 是個涉及偏微分方程式的問題，通常包含一些邊界條件，如像振動的弦必須在端點固定這樣的條件。 當分離變量法套用於偏微分方程式時，這方程式就分解為兩個或多個常微分方程式，而加在所求解上的邊界條件就變成一個常微分方程式的邊界條件 。一般說來這常微分方程式包含一個參數，事實上它是從「變量分離」的過程中得來的，而給參數賦以特殊值，通常可得到方程式的解。這些值叫「特征值」或「本征值， eigenvalue 」，而相應於任一特征值的解叫「特征函式」。此外，為了適合起先的條件或原問題的條件，必須把給定的函式 f(x) 用特征函式表示出來。
確定帶邊界條件的一個常微分方程式的特征值和特征函式的問題，以及把給定的函式展為特征函式的無窮級數的問題，隨著新座標系的引入和新的函式類像 Bessel function、Legendre polynomials 等作為常微分方程式的特征函式而興起，就變得更為突出了。巴黎大學理學院力學教授 Sturm, J. Charles-François 和法蘭西學院的數學教授 Joseph Liouville ，這兩人決定著手鉆研任何二階常微分方程式的一般問題。 Sturm 從 1833 年起就已經從事研究偏微分方程式的問題，最初是從事變密度棒中熱流問題的研究，所以他是完全知道特征值和特征函式的問題的。 他套用於這個問題上的數學思想是與他對代數方程式的根的實性和分布的研究密切聯系著的。他說，他關於微分方程式的思想是從差分方程式的研究並過渡到極限而得來的 。
Sturm 告訴 Liouville 他正在研究的問題後， Liouville 也研究起同一課題來了，這兩人的幾篇論文中的結果是十分詳盡的，可用近代的記號最方便地概述如下：他們考慮一般的二階方程式
Ly"+My'+λNy=0
其中， L、M、N 是 x 的連續函式， L 不為零， λ 是參數。遍乘以 L^{-1}e^{\int_{}^{}ML^{-1}dx} 後，方程式可以改成：
\frac{d}{dx}[p(x)\frac{dy}{dx}]+\lambda\rho(x)y=0, p(x)>0,\rho(x)>0
原方程式和變換後的方程式所應滿足的邊界條件可以有一般形式：
y'(a)-h_1y(a)=0
y'(b)+h_2y(b)=0
h_1\geq0, h_2\geq0,a<b
Sturm 和 Liouville 證明了下列基本結果：
(a). 僅當 λ 取遞增到 ∞ 的正數序列 λn 的任一值時，這問題才有非零解。
(b). 對每一 λn ，解是一函式 vn 的倍數，而 vn 可以用條件 \int_{a}^{b}\rho v_n^2dx=1 加以規範化。
(c). 成立正交性質 \int_{a}^{b} \rho v_mv_ndx=0,m\ne n 。
(d). 每個在區間 (a, b) 上二次可微的、滿足邊界條件的函式 f 可以展為均勻收斂的級數
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{c_nv_n(x)}
其中， c_n=\int_{a}^{b}\rho fv_n(x)dx
(e). 等式 \int_{a}^{b}\rho f^2dx=\sum_{n=1}^{\infty}{c_n^2}
普遍成立。這最後的等式叫做 Parseval's equality ，已由 Marc-Antoine Parseval 在 1799 年純形式地對三角函式集證明過了。隨之而來的是 Pierre Bézier 在 1828 年證明的（還是關於三角級數的）不等式，即
\sum_{n=1}^{\infty}{c_n^2\leq\int_{a}^{b}|f(x)|^2dx}
實在說，Sturm-Liouville theorem 的結果並不是在所有方面都令人滿意的，f(x)可以表示為特征函式的無窮和的證明是不充分的 。一個困難是關於特征函式集的完全性的事實，對 (a, b) 上的連續函式 f(x) ，這就是上面的條件 (e) ，粗糙地看，這意味著特征函式集大得足以表示「任何」函式 f(x) 。另外，雖然 Liouville 用 Cauchy, Augustin Louis 和 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 發展的理論確實給出了某種情形下 \sum_{}^{}{c_nv_n(x)} 收斂到 f(x) 的證明，但是級數 \sum_{}^{}{c_nv_n(x)} 是在何種意義下收斂到 f(x) 的問題，是逐點收斂、均勻收斂還是在某種更一般意義下的收斂，還沒有包括進去。
至於完備性怎麽證明？及完備性的限制與界定，請參考附件文章的內容！
Ref.:
1). 厄米算符固有函數完備性的一般證明，大學物理， 2012, 31(9): 16-19 .
2). 量子力學中厄米算符本征矢完備性的限制和界定，科技創新導報， 2012, 34: 84-85 .
3).
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