代數幾何有一種魔力，就是研究幾何的人不知不覺就會發現自己的研究跟代數幾何關聯起來了。
我提供幾個例子：經典物理學裏面，給定一個相空間上的哈密頓量 H\colon\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R} ，我們會得到一個水平集 H^{-1} (c) 的葉狀結構以及每個水平集上的哈密頓向量場 X_H . 如果我們可以找到 n 個互相交換的哈密頓量 H_1 ,H_2 ,\dotsb ,H_n ，那麽根據Frobenius定理，我們就會在每個水平集 H_1^{-1} (c)\cap\dotsb\cap H_n^{-1} (c) 上得到一個 \mathbb{R}^n -作用。如果我們的相空間是緊的（非物理的），那麽我們就得到了一個對映 p\colon X^{2n}\to\mathbb{R}^n ，並且Atiyah-Guillemin-Sternberg定理告訴我們，這個像集一定是一個凸多邊形。這個凸多邊形就給出了這種帶有環 (\mathbb{S}^1)^n 作用的緊辛流形的組合描述.
另一邊，在代數幾何上，我們說一個algebraic variety X 是 toric ，如果它有一個Zariski開子集 U\subseteq X 同構於某個代數環 (\mathbb{C}^{\ast} )^n . 這種variety也有一種組合描述：對 \mathbb{R}^n 裏面的 n 個線性獨立向量 v_1 ,v_2,\dotsb ,v_n\in\mathbb{Z}^n\subseteq\mathbb{R}^n ，我們可以將它們生成的錐 \sigma=\{a_1v_1 +a_2v_2+\dotsb+a_n v_n\vert a,b\geq 0\}\subseteq\mathbb{R}^n 對應到一個代數簇 \mathrm{Spec}\ \mathbb{C} [S_{\sigma}] , 其中 S_{\sigma} 是 \sigma 上為正數且在格點 \mathbb{Z}^n 上為整數的線性函式構成的半群. 如果兩個錐關於某個面相交，則我們按照相交的資訊來貼上對應的仿射概形。透過這樣的構造我們可以最後透過這種fan，即這些錐的並，還原出 X . 這就給出了 X 的組合描述. Kempf-Ness定理說明，這兩者是等價的：即第二段所述辛流形就是一個toric variety；更一般的，約化群 G^{\mathbb{C}} 在一個代數簇 X 上作用的GIT商 X//G^{\mathbb{C}} 跟對應的緊李群 G 在辛流形 X 上作用的辛商 \mu^{-1} (c)/G 是等價的：這裏 \mu\colon X\to\mathbb{R}^n 是上文所說的「推廣的」動量對映.
這種例子還有很多，比如對一個辛流形 (X,\omega) ，我們可以透過數全純曲線定義它的 Gromov-Witten不變量 GW_{g,k} (X,\omega ) ，物理上看就是 k -點協相關函式 \int_{\mathcal{F}} e^{-2\pi i\omega (u)}\xi_1\wedge\xi_2\wedge\dotsb\wedge\xi_k 的一個「有限維模型」，但是另一方面我們可以純代數幾何地考慮這個問題：因為當 X 本身帶有可積複結構的時候，全純曲線也可以認為是一個代數曲線，從而我們可以考慮 穩定對映 f\colon \bm{u}\to X 的模空間：這裏 \bm{u} 是自同構群有限的（可能帶有nodal singularity）的固定虧格的代數曲線，這個問題也就約化成對 (X,\mathcal{O}_X) 上面給定的一些餘調類，它們拉回到這個模空間上做cup積之後跟這個模空間的「基本類」的配對。代數幾何裏面有（更讓人容易理解的）辦法來處理奇異和高虧格的情況下這種模空間的基本類別定義（註意到如果流形本身是奇異的，我們還可以按照Griffith-Harris那樣定義基本類，但是當這個空間本身不是流形的時候，尋找基本類就變成了一個非常困難的問題——微分幾何和代數幾何都不約而同地采用了某種「擾動」的辦法，來得到一個「虛擬基本類」，並且將其看作是真正的基本類），並且它對代數幾何的研究本身也有幫助：Kontsevich因為Gromov-Witten不變量的計算匯出一些情形下代數曲線計數的遞推公式而獲得費爾茲獎。
由於電量的原因我就不寫這麽多了。實際上例子還有非常多，很多幾何拓撲的問題都會在某個時候和代數幾何產生聯系，所以看上去就好像所有人「都在學習代數幾何」了。
