之前寫過不少關於微分和導數的文章：
今天這篇文章再換一個角度來談論微分和導數，讓我們從微分出現的原因說起。
1 微分出現的原因
出於種種原因，我們可能想去求曲線的長度、曲面梯形的面積：
求解思路是這樣的，以求曲線長度為例，將曲線分為多個部份，每一部份都用切線來近似曲線：
劃分的越細，直到劃分為無窮多份，最終這些切線的長度加起來就是曲線的長度：
求曲邊梯形面積也是類似的，用小矩形來近似曲邊梯形的面積，隨著小矩形的增多最終得到曲邊梯形的面積：
上面的思想就是微積分的核心思想，「以直代曲」。曲線長度、曲邊梯形就是「曲」，切線、小矩形就是用來近似（代替）的「直」，這種「直」就是 微分 。關於這裏還不了解的可以看「微分是什麽？」這篇文章。
2 微分與導數
先不談曲邊梯形，本節先來回答曲線的微分是什麽，也就是可以近似曲線的直線是什麽？
2.1 幾何分析
下面結合幾何來理清一下求解的思路。假設有曲線f(x) 和直線g(x) ，如果兩者完全相等，那麽有：
f(x)=g(x)\quad 或\quad f(x)-g(x)=0\\
很顯然這在整個曲線和直線上是做不到的，但肯定可以做到在某點上相等，比如讓它們在x_0 點相等，從幾何上看就是曲線f(x) 和直線g(x) 在x_0 點相交：
下面要更進一步，不過不要太貪心，只希望兩者在x_0 附近盡量相等。比如像下圖一樣，在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的區間內，曲線f(x) 和直線g(x) 相差很小：
這點如果可以做到，那就可以按照上一節說的，將曲線分成n份，每份都用各自的微分來近似。
2.2 代數分析
透過幾何分析，思路已經理清楚了，要找的微分（直線）需要滿足以下兩點：
（1）曲線f(x) 和直線g(x) 要交於x_0 點。假設直線g(x) 的斜率為k ，那麽根據點斜式，可得直線函式：
g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\
這裏面就是k 還未知，求出了k 就得到了想要的直線，也就得到了微分。
（2）曲線f(x) 和直線g(x) 要在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的區間內盡可能相等。用代數表示即為：
f(x)-g(x)\approx 0,\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)\\
有約等號的式子是沒法計算的，引入高階無窮小o(\Delta x) 可以將約等號去掉：
f(x)-g(x)=o(\Delta x),\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)\\
高階無窮小o(\Delta x) 的意思就是在\Delta x 這個範圍內無限的接近於 0。至於為什麽它無限接近於 0，以及為什麽是高階無窮小，在文章的最後會進行補充說明。
2.3 解出直線的斜率 k
經過上面的分析我們有了：
\left.\begin{aligned} g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\ f(x)-g(x)=o(\Delta x) \end{aligned}\right\}\implies f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x) \\
這已經足夠讓我們解出直線的斜率k 了。註意到\Delta x=x-x_0 ，可以進行如下變形：
\begin{aligned} f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x) &\implies f(x)-f(x_0)-k\Delta x=o(\Delta x)\\ &\implies \frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned} \\
兩側取極限可得：
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\implies \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=0 \\
略微作一下化簡可得：
k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}\\
至此我們就求出了k ，也就找到了f(x) 的 微分 （直線g(x) 的形式還需要變一下才是真正的微分，關於這點可以參考「dx，dy是什麽？」這篇文章）。
這個k 在微積分中又有一個專門的名字，稱為f(x) 的 導數 。k 如果存在（因為k 是透過極限求得的，這個極限有不存在的可能），那麽就稱f(x) 可導。
上面的思路還可以進一步思考，如果要找最接近曲線f(x) 的多項式曲線呢？這會得到泰勒公式，就留給大家作課後習題吧。
3 補充說明
這裏補充說明兩點：
（1）高階無窮小o(\Delta x) 為什麽表示在(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x) 的區間內無限接近於 0 ？這是因為它滿足：
\lim_{\Delta x\to0}o(\Delta x)=0\\
上面這個極限式意味著\Delta x 越小，也就是越接近於x_0 點，o(\Delta x) 越接近於 0。用動畫表示就是：
上圖中綠線就是曲線f(x) ，藍線為微分，可以看到隨著\Delta x 縮小，兩者之間的距離o(\Delta x) 也無限接近於 0。
（2）為什麽一定要高階無窮小？同階無窮小行不行？關於這點可以參考「為什麽算出來的圓周率 π 等於 4 ？」這篇文章。
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