不知道你看的是哪本书？如果只用 [0,+\infty) 一个区间，那你再把书上的证明过程过一遍，看看条件改变后哪些证明环节出现了问题，变得不再适用了？然后你再反过头来琢磨下这个问题，很容易就有答案。
我猜多半会是这样：
f(x)=cos\sqrt{x}，f'(x)=\frac{-sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} ，
由于在 [1,+\infty) 区间上保证了 x\geq1 ，因而也就有 |f'(x)|\leq\frac{1}{2} ，
从而在 [1,+\infty) 区间上 |f(x_2)-f(x_1)|=|cos\sqrt{x_2}-cos\sqrt{x_1}|=|f'(\xi)(x_2-x_1)|\leq\frac{1}{2}|x_2-x_1| ，从而导出该区间上的一致连续性。前面 [0,1] 区间上由连续自然能得出一致连续的结论。
所以拆出两个区间来，无非是方便后面不等式放缩而已。
