我们先定义一下储存。以下我们认为，成功储存一个数意味着，可以在有限时间内计算出这个数的任何一位。
为什么这样定义呢？因为单就储存而言，方式太多了。我储存一张画着π的像素画，也是一种储存。但这没有意义，不是我们想要的。因为π的像素画是不能进行计算的。我们希望储存的数能够参与运算，那至少我该知道它的每一位是什么。
但不要局限在存储每一位，那样显然是无法存储无理数的，在现实条件下甚至一些很大的数都无法存储，比如葛立恒数、tree(3)之类的。
而如果我们存储「计算这个数的方法」，就可以表达出很多数。比如对于π和e，我们存储一个逼近它的公式即可。
但我们仍然不能存储所有实数。
显然 不可计算数 是不能存储的，因为不可计算数的定义就是「不能通过一个图灵机在 有限 的通用算法来得到这个实数的任意想要的一位数字」。也就是说即便我存储了计算这个数的方法，我也算不出来它，不满足我上面提到的储存的要求。我想问题中提到的计算机应当确实是图灵机。
关于不可计算数， 蔡廷常数 是一个很经典的例子。粗略地解释一下就是：指定一种图灵完备的编程语言，随机输入一段代码，这段代码可运行且会在有限时间里终止的概率。这个概率值就是蔡廷常数（Chaitin's constant）。
Let P_F be the domain of a prefix-free universal computable function F . The constant \Omega_F is then defined as {\display style \Omega _{F}=\sum _{p\in P_{F}}2^{-|p|}} ,where {\display style \left|p\right|} denotes the length of a string p . —— Wikipedia已证明蔡廷常数是不可计算的。这是由图灵停机问题不可解所得出的。
另外很有意思的是，存在「 不可定义数 」。如果我们把定义看成「有限长度的语言描述」，那么能描述出的数总是可数无穷多个（因为长度有限的文字是可以枚举的），而实数有不可数无穷多个，所以实际上，大多数都是不可定义数。但是我没法告诉你任何一个不可定义数，因为我说出来的一瞬间它不再是不可定义数了。
而对于可计算数，它总能在有限的通用算法里求解任意位，也就满足的问题中的「存储」。
换个角度考虑，如果我们不局限于图灵机呢？不可计算数仅仅在图灵机下不可计算，那么如果我们拥有比图灵机更强的模型，是不是有可能突破这层限制？
但这已经远远超出我的学识范围……或许可以看看下面的这一篇。
