谢邀。
我不是专门做极值图论的，说一下我了解的部分，如果有错欢迎指正。
随机图一直是纯数，应数，TCS都关注的方向。纯数关注于随机性和伪随机性，比如regularity lemma，还有随机图本身的性质，应数和TCS会做一些network的模型，听我一个做TCS的朋友说，这个方向一度很火，发了很多science和nature，但是现在的话该有的模型也都已经有了，大概变成基础知识了吧。
Random Graph的起源我想应该是1959年Erdos和Renyi的一篇文章，首次提出了Erdos-Renyi Graph。Random Graph的定义我想题主应该知道，是一个概率空间 (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{p}) ，其中 \Omega 是一个图的family（或者更一般的定义 X:\Omega\to\mathcal{G} ）。随机图的定义等价于 \mathbb{N} 上的random subset，所以研究堆垒数论也会用到。
说句题外话，Renyi有一句很有名的话大家应该都听说过：数学家是可以把咖啡转化成定理的机器。然而我喝了咖啡除了多去几次厕所就没别的了。
随机图的本质是概率论和随机过程，主要方法是概率方法，研究的方向很多，比如随机图本身的性质，Ramsey Problems，确定各种threshold。还有和其他方向的结合，比如我最近在做的一个问题是确定genus of random graphs generated by graphon。Graphon（可测函数 W:\Omega^2\to [0,1] ）可以生成比Erdos-Renyi graph更一般的随机图。另外最近random graph processes也很火，比较流行的是differential equation method，引入ODE和PDE中强有力的分析工具解决离散的问题，已经解决了很多猜想了。
另外在数论上，我们也有pseudorandom graph来描述伪随机：不严格的说，具有随机性的确定的图。比如regularity lemma可以把大的图（或者等价的，大的 \mathbb{N} 的子集）分成常数 k 部分，使得几乎每两部分之间的边都是伪随机的，其中伪随机的「程度」只和 k 有关。pseudorandomness还可以和图的spectrum联系起来，因此可以使用代数工具，是一个很rich的理论。有兴趣可以读一下D. Conlon和J. Fox的论文。但是Regularity Lemma中常数 k 太大了，最近2012年附近两个大牛组各自独立发明的新工具Hypergraph Container Method目前更好用一些。
有一个组合数学的奖，忘记名字了，明天睡醒查一下，两年颁发一次，上上上次颁给的是研究数论中的随机性的结果（regularity lemma的application），上上届是颁给container method，上届是给的研究随机图过程的differential equation method，大概可以看出随机图在组合数学中的地位。
回到random graph，我这个回答并没有列太多数学公式，因为看到这个邀请时已经凌晨一点了，现在两点了。。这里推荐一些经典教材，假设已经学过概率论，随机过程，线性代数和抽象代数。
首先是概率方法最经典的教材：Noga Alon, Joel Spencer, The Probabilistic Method.
随机图论有三本经典教材，这里推荐最新的：Bollbas, Random Graphs.
基于极值图论的一个比较新的方向：Lovasz, Large Networks and Graph Limits.
偏向数论的：T. Tao, V. Vu, Additive Combinatorics.
另外我看到标签有人工智能，题主可能是做CS或者TCS的，那个方向的随机图的应用我不是很清楚，不好意思。我个人主要关注于数的分布的随机性还有随机图本身的拓扑性质。
