最近，数学天才少女姜萍的故事，引发了大量对数学的讨论——尽管数学可能有些难懂，但它对人类社会的贡献无疑是巨大的。例如，数学模型可以描述冷空气如何移动，可以分析股票价格的涨跌，甚至预测人群中疾病传播的变化。
数学在身边
在某些时候，几乎每个人都在不知不觉中使用这样的模型。就像当你想知道在长途旅行中需要停在在哪里加油，你就会使用到一个简单的数学方程：里程数除以百公里耗油量，当然如果距离足够远，你还需要考虑到你的油箱容量，而如果是高原，你可能还需要考虑到氧气的影响。
可以说，当你使用数学来研究某个问题时，你实际上是在把事物分解成最基本的逻辑。对研究数学的人来说，这无疑是最让人着迷的部分。
今天我们要讨论的是数学模型在应对大流行病中发挥的重要作用。
第一个传染病模型
第一个关于传染病的数学模型是18世纪初的天花模型。
■ 1980年世界卫生组织宣布根除天花的海报 / 世界卫生组织
当时，欧洲医生们了解到牛痘接种，这是一种通过从牛痘病变中提取脓液，然后将脓液转移到健康人身上以诱导免疫力预防天花的有效方法。但在开始大规模接种之前，人们还是希望弄清楚牛痘接种法的好处是否大于其风险，因为的确有一小部分人出现了比预期更严重的天花症状甚至死亡。
瑞士人丹尼尔·伯努利通过分析死亡数据建立了相关数学模型。他首先假设如果牛痘接种法能帮助人们建立对天花的免疫能力并且没有风险，那么大规模接种疫苗，将使人类的平均预期寿命增加近12%，也就是三年多一点。在那个年代，这是一个相当了不起的数字——从大约26岁零7个月增加到大约29岁零9个月！
而为了让怀疑论者相信「人造天花」的好处大于它的风险，伯努利还进行计算了另外一种情况——每200个接种牛痘的人中就会有一个人死亡——在这种远比现实数据还要残酷得多的条件下，人类预期寿命依然大幅增长，仅仅比之前的情况减少了约两个月，这意味着人们的平均寿命仍然会延长7.5%。
这些激动人心的数据，最终让大规模接种成功推行，也最终让天花写入了历史。
疟疾与R0的发现
流行病学家经常使用的一个关键统计数据是「基本传染数」，它更被人们熟悉的名字则是R0。简单来说，R0讲述了一个关于传播途径的故事：人们是如何被感染的，又是如何康复的？
如果一种疾病的R0小于1，那意味着感染数量将随着时间越来越少。一旦已经感染的人康复（或死亡），这种流行病也将最终消失。但是，如果一种疾病的R0大于1，比如说10，那这就意味着每个感染者将可能传染10个人，毫无疑问，这种疾病将会迎来大暴发。
R0的发现，源于防治疟疾的努力。1902年，罗纳德·罗斯因发现疟疾是通过蚊子传播而获得诺贝尔生理学或医学奖。然而，这个发现不免让卫生官员担心疟疾是一个不可能战胜的疾病，甚至开始担忧是否要想办法消灭所有的蚊子来根除这种疾病。
但是，通过罗斯的数学模型证明，只要将蚊子数量减少到一个临界水平以下（R0小于1）就足够了。
步骤1：蚊子叮咬和传播
每当蚊子叮咬一个感染了疟疾的人时，它就有可能在吸血的过程中携带上疟原虫。接下来，当这个带有疟原虫的蚊子再去叮咬另一个健康人时，它就可能把疟疾传染给这个人。这里存在着两个概率：
蚊子叮咬人的概率。
携带疟原虫的蚊子成功把疟疾传给人的概率。
步骤2：蚊子的寿命和传染能力
接下来我们考虑的是蚊子的寿命和传染能力。蚊子每天都有一定的存活概率，它们需要在体内携带疟原虫一段时间（孵化期）后才能把疟疾传给人。因此，蚊子的存活率直接影响它们传播疟疾的能力。如果蚊子能存活更长时间，它们就有更高的几率传染更多的人。
步骤3：人与蚊子的关系
每个人周围有一定数量的蚊子，每只蚊子每天可能叮咬几个人。我们可以把这些因素结合起来，就能计算出一个感染者每天能传染给多少人的理论值。
将上述所有因素组合在一起之后，我们就能够清楚地发现疟疾的传播与蚊子数量、蚊子叮咬人的频率、传染概率以及蚊子的存活率和孵化期都有关，因此， 我们并不需要完全消灭蚊子，而只是需要减少蚊子的数量或者减少它们叮咬人和传播疟疾的机会即可。
这些重要的发现，最终指导了疟疾的防控措施，例如悬挂蚊帐、喷洒杀虫剂、减少居住地附近的水塘、在15天内阻断疟疾传播等等。
■ 防蚊海报 / U.S. Public Health Service
预测流行病的传播
为了阻止疾病的爆发，流行病学家建立了有关疾病传播的数学模型。SIR模型是其中一个重要的模型，至今仍在使用。该模型帮助科学家分析流行病是如何在「易感人群」、「受感染人群」和「恢复人群」之间传播和变化。
在SIR模型中，易感人群（S）指的是尚未感染但有可能感染疾病的人群；受感染人群（I）指的是已经感染且能够传播疾病的人群；恢复人群（R）指的是已经从疾病中恢复且具有免疫力的人群。理论上，所有流行病最终都会消失，因为易感人群的数量最终会减少到零——所有人要么会被感染并康复，要么会因为疾病死亡。然而，现实中并非如此，因为只要有足够多的新生儿出生，疫情就会继续。
例如，在有效疫苗出现之前，欧洲经常发生致命的麻疹暴发，但各国的暴发周期却出奇地不同。最终，卫生官员发现这些周期与出生率密切相关：新生儿特别容易感染麻疹，所以如果一个国家的出生率上升，麻疹的发病率也会上升。这一发现帮助科学家和公共卫生官员理解并预测麻疹的暴发周期，从而制定更有效的疫苗接种策略。
■ 宣传防治麻疹和脊髓灰质炎等疾病的海报 / Ministry of Health and Social Services Bermuda
另一个例子是流感（Influenza）。流感病毒具有高度变异性，每年都会有不同的流感病毒株流行。在研究流感传播时，SIR模型帮助科学家理解季节性流感的传播模式和疫苗接种的重要性，并能够通过模型预测，优化每年的流感疫苗株选择，从而提升疫苗的有效性。
此外，SIR模型还在研究新兴传染病时发挥了重要作用。2003年的非典（SARS）疫情中，科学家利用SIR模型模拟了病毒的传播过程，评估了隔离措施和公众卫生干预的效果。类似地，在2014-2016年的西非埃博拉疫情期间，SIR模型帮助预测了疫情的蔓延，并指导了国际社会的应对策略。
在新冠疫情中，SIR模型及其改进版本也被广泛应用。科学家利用这些模型模拟疫情的传播，评估社交隔离、口罩佩戴、疫苗接种等防控措施的效果。这些模型为政策制定者提供了科学依据，帮助他们在疫情防控中做出明智决策。
作为一名普通的数学爱好者，我深知数学不仅是由抽象符号和方程组成的学科，更是一种独特的视角，让我们以全新的方式观察世界、分析问题。数学能够帮助我们更高效地理解和解决现实中的诸多问题。我真心希望更多人能关注数学在探索未知世界中所发挥的重要作用，这将带你领略一个更广阔、更有趣的世界。
