这个问题非常有意思，高赞答主们从各个角度描述了对数函数的定义及其导数，但是其核心问题还是没有解决，即 对数函数 \ln x 为什么在某些方面 像一个幂函数（ x^0 ） 。
咋看之下这似乎是无稽之谈，x^0 明明等于 1 ，而其它的幂函数的定义也跟对数函数全然不同，除了对数函数的导数也是幂函数之外，似乎就没有其它相似之处了。
不过非常恰巧，我前段时间对各种不同的平均做了一点点研究，里头也有非常类似的「 对数函数表现的像一个幂函数 」的行为，不过读者需要先花一点点时间了解一下什么是 幂平均 。
对于两个正实数 a 和 b ，我们知道他们的 算术平均 是 \frac{a+b}{2} ， 几何平均 是 \sqrt{ab} ，并且有算术几何平均不等式： \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} ，这是中学数学的范畴。
到了大学之后，偶尔我们会遇到另一种平均值： 均方根 (root mean square, RMS)，即\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ，不过理解这个平均值依然只需要中学数学知识就够了：假设 a\le b （下同），不难发现 a=\sqrt{\frac{a^2+a^2}{2}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le\sqrt{\frac{b^2+b^2}{2}}=b ，所以\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} 确实介于a 和 b 之间，可以当作是某种平均值。
有了均方根，我们很容易就想到，如果把二次方改成三次方行不行？四次方、五次方呢？这就很容易导出了 幂平均 的概念： M_n=\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}} 。这样一下子就把算术平均、均方根，推广了无穷多种平均值，只要代入不同的 n 就可以了，比如 调和平均 就也被包含了进来： \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2})^{-1} 。
幂平均还有一个很有意思的性质，从图上也可以看出来，就是它关于 n 是单调的。事实上，如果 n 趋向于正（负）无穷，那么幂平均就会趋向于 b ( a )。对于任何有限的n ，则幂平均始终在 a 和 b 之间。
我们甚至可以对幂平均再做一次推广，把幂函数换成任意函数，把求根换成该函数的逆函数，就得到 拟算术平均 (quasi-arithmetic mean)，又叫 广义f-平均 (generalized f-mean): M_f=f^{-1}(\frac{f(a)+f(b)}{2}) ，幂平均就对应于 f(x)=x^n 时的情形。
好了，现在背景知识都介绍完了，这与本来的问题有什么关系呢？
别急，我们刚刚忘了提几何平均了，既然幂平均可以一直从 a 走到 b ，那几何平均在其中的什么位置呢？
也许你已经猜到了，几何平均就在 n=0 的位置！
注意到幂平均在 n=0 处是没有定义的，因为不能开零次方根，但是我们可以用极限的角度定义 M_0=\lim_{n\rightarrow0}{M_n}=\sqrt{ab} 。
证明其实不难，只要注意到对于任意的 n>0 ，我们有 \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}}\ge \sqrt[n]{\sqrt{a^nb^n}}=\sqrt{ab} ，而由于 x^{\frac1n} 当 n<0 时是单调减的所以不等号要反过来，就可以知道 \sqrt{ab} 只能在在 n=0 的位置了。
所以按照幂平均与 f(x)=x^n 的对应关系， \sqrt{ab} 似乎对应于f(x)=x^0 对应的广义平均。然而事实上，\sqrt{ab}=\exp(\frac{\ln a+\ln b}2) 是f(x)=\ln x 下的广义平均。这么一看 \ln x 是不是跟幂函数 x^0 有了某些奇怪的相似关系了？
事实上，幂平均（包含 n=0 的特殊情形几何平均）是唯一一种满足 齐次性 的拟算术平均。什么是齐次性呢？简单地说， 2m （两米）跟 3m 的平均值，根据平均值的定义方式的不同，不一定是 2.5m ，也许是比方说 2.3m 。但是如果我们把这两个数换个单位，那么齐次性要求 200cm 跟 300cm 在同一个定义下，平均值必须是 230cm 。换句话说， 我们要求平均值 M(a,b) 满足M(200, 300)=100M(2,3) ，或者更一般的， M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b) ，这就是（一次）齐次性。
这个齐次性的要求既自然又苛刻，事实上，只要我们要求广义平均满足齐次性，可以证明 f(x) 只能是幂函数 x^n 或者对数函数 \ln x ，顶多加上一个常数因子。其它的函数比如指数函数等都是不满足这个性质的。
所以说，对数函数与幂函数的关系远比表面上看起来更加复杂，其中更深入的关系还望有学数学的大神前来揭秘。
竟然这么多人看，趁机推销一下我自己写的段子好了
