根据导数的定义：
f'(x)={\rm \lim_{\Delta x \rightarrow 0}}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \tag1
可以得到：
({\rm ln} x)'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{{\rm ln}(x+\Delta x)-{\rm ln}x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{{\rm ln}{\frac{(x+\Delta x)}{x}}}{\Delta x} =\frac{1}{x}\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\rm ln}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \tag2
注意，根据对数的定义有x>0。现讨论 \Delta x>0 的情况：
此时上式可以等价于：
({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}[{\lim_{t \rightarrow +\infty}}(1+\frac{1}{t})^t] \tag3
而当 \Delta x<0 时：
({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}[{\lim_{t \rightarrow -\infty}}(1+\frac{1}{t})^t] \tag4
现需要求（3）和（4）的值：
对于（3）：设正整数n满足n≤t<n+1，则显然有：
(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{t})^t<(1+\frac{1}{n})^{n+1} \tag5
根据e的定义： e=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n})^n} ，有：（注意，数列极限这个是e的定义不是结论）
\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n+1})^n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n+1})^n} =\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=e \tag6
\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}(1+\frac{1}{n}) =e \tag7
由夹逼准则可以得到：
{\lim_{t \rightarrow +\infty}}(1+\frac{1}{t})^t=e \tag8
同理可以得到t<0时的结论，可得： {\lim_{t \rightarrow -\infty}}(1+\frac{1}{t})^t=e \tag9
最终可得： ({\rm ln}x)'=\frac{1}{x}{\rm ln}e=\frac{1}{x} \tag{10}
注意：因为题设要求求证 ({\rm ln}x)'=\frac{1}{x} ，所以在(2)中不能使用洛必达法则或者等价无穷小进行替换，否则涉及循环论证……当然你先去证明等价无穷小的另当别论……
