奥利给不等式 就是：
哈哈哈哈，开个玩笑~
其实，这是个谐音，「奥利给不等式」指的是「ALG不等式」（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities），中文又称「对数均值不等式」 [1] 。
定义是：
\forall a,b>0\cap a\ne b. \Rightarrow\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b - \ln a}>\sqrt{ab}\tag{1}
即对于任意两个非负且互不相等的数 a 和 b ，两者的 算术平均数（Arithmetic mean） \frac{a+b}{2} 大于 对数平均数（Logarithmic mean） \frac{b-a}{\ln b - \ln a} 大于 几何平均数（Geometric mean） \sqrt{ab} 。
对应的证明方法有很多，我找到了一个由 Roger B. Nelsen 教授给出的图解证明法 [2] ，这也是我所见过的最为直观简洁的奥利给不等式证明方法，但是由于其原文中的公式有些错误，所以这里重新写一遍。
思路其实就是对比函数 y=\frac{1}{x} 在区间 (a,b) 所围的面积与一个通过「内切」（左边图）形成的梯形面积与两个通过「外接」（右边图）形成的梯形面积，进而得到不等式关系。
很显然，两种情况下，函数 y=\frac{1}{x} 在区间 (a,b) 所围的面积都为：
\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx=\ln x|_{a}^{b}=\ln b - \ln a \tag{2}
对于左边的图，根据积分所得面积与梯形面积的关系有：
(注意这里的梯形可以看做是长为 b-a ，高为 \frac{2}{a+b} 的矩形)
\ln b-\ln a>\frac{2}{a+b}(b-a)\tag{3}
\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b -\ln a}\tag{4}
对于右边的图，根据积分所得面积与两个梯形面积和的关系有：
(开始吟唱：梯形的面积是上底加下底的和乘高除二!)
\ln b -\ln a<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\left(\sqrt{ab}-a\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\left(b-\sqrt{ab}\right)\\=\frac{ab-a^2}{2a\sqrt{ab}}+\frac{b^2-ab}{2b\sqrt{ab}}=\frac{b-a}{\sqrt{ab}}\tag{5}
\sqrt{ab}<\frac{b-a}{\ln b - \ln a}\tag{6}
综上有：
b>a>0\Rightarrow\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b - \ln a}>\sqrt{ab}\tag{7}
而对于题主的问题，关于 \ln x 与 \frac{2x-2}{x+1} 的关系就很好比较了。
由奥利给不等式有：
\frac{x+y}{2}>\frac{x-y}{\ln x - \ln y}\tag{8}
现在只需要令 y=1 则有：
\frac{x+1}{2}>\frac{x-1}{\ln x - \ln 1}\tag{9}
所以当 x>1 时，有：
\ln x>\frac{2x-2}{x+1}\tag{10}
当 0<x<1 时，有：
\ln x<\frac{2x-2}{x+1}\tag{11}
当 x=1 时，有：
\ln x=\frac{2x-2}{x+1}\tag{12}
参考
- ^ Logarithmic mean https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean
- ^ Nelsen, Roger B. "Proof without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality." Mathematics Magazine 68, no. 4 (1995): 305. doi:10.2307/2690586.
