这不是初中数学课本上就讲过了的吗？难道是我记错了？
有理数无理数什么的本来就不是靠测量来决定的，因为一个尺子再精确能有多精确？
就像我们现在发现 \pi 不是一个有理数，决对不是把一个轮子在地上滚一圈，看它滚了多远，然后把这个距离除以它的直径，发现它是无限不循环小数一样。
再说了，现实世界不像数学界，存在最短距离：普朗克长度 \[{l_p} = \sqrt {\frac{{\hbar G}}{{{c^3}}}} \cong 1.61624\left( {12} \right) \times {10^{ - 35}}m\]
考虑可观测宇宙的直径，哪怕用再精确的尺子，也没办法算到 \pi 的小数点后 50 位。
那我们是怎么发现存在无理数的呢？其实很简单啊，运用数学的力量。
举一个最简单的例子： \[\sqrt 2 \] 。
如何证明 \[\sqrt 2 \] 不是有理数？运用反证法，假设它是一个有理数。
按照有理数的定义， \[\sqrt 2 \] 一定可写成分数的形式： \[\frac{p}{q}\] 。
其中我们特别规定一下， p 、 q 都是正整数，而且它们互素。什么是互素？就是它们的最大公因数是 1 。
例如 2 和 3 就互素，但 2 和 4 就不互素，因为它们的最大公因数是 2 。
也就是说 \[\sqrt 2 = \frac{p}{q}\] ，两边同时平方，得 \[2 = \frac{{{p^2}}}{{{q^2}}}\] ，即： \[{p^2} = 2{q^2}\] 。
来来来，我们来分析一下，因为 \[{p^2} = 2{q^2}\] ，意思就是 \[{p^2}\] 是一个偶数。
那好，我敢断定，因为 \[{p^2}\] 是偶数，所以 p 也一定是偶数，毕竟奇数的平方还是奇数。
所以我们不妨假设 p=2k \[\left( {k \in {N_ + }} \right)\] ，代入原式，得：
\[{\left( {2k} \right)^2} = 2{q^2} \Rightarrow 4{k^2} = 2{q^2} \Rightarrow 2{k^2} = {q^2}\]
哦，意思就是 \[{{q^2}}\] 也是偶数呗？
那我们还是可以得到 q 也是偶数。
等等，我们发现矛盾了，之前我们假设p 、 q 互素，但现在发现p 、 q 都是偶数，它们显然不可能互素。
所以得证， \[\sqrt 2 \] 不是有理数。
不要小看这小小的证明哦，它在历史上被称作 第一次数学危机 。
毕竟当年的毕达哥拉斯学派和你一样，认为两个分数可以靠的任意近，所以直观上感觉所有有理数可以盖满一整条直线。
但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。新发现的数由于和之前的所谓「合理存在的数」——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以「淹死」的惩罚。
但数学这东西不是宗教，对的就是对的，错的就是错的。只要一个东西被数学语言证明了，那它就永远存在于那里，不以某个人或某些人的反对而改变。哪怕你现在解决了提出问题的人，问题依旧在那里，直到永远~~~
第一次数学危机也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从「自明的」公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物，大大推动了数学的发展。
