先放结论:
乌鸦能不能喝到水,与瓶子形状关系不大,主要取决于里面有多少水、石子形状、石子级配。
1.石子在瓶子里形成颗粒材料堆积体。堆积体中孔隙体积(液体体积+气体体积)与总体积(固体体积+孔隙体积)之比称为孔隙率n。石子比较小,粒径大小和形状单一时,n可以看作常数。
设想乌鸦用的是大小完全相同的圆球,那么圆球堆积体的孔隙率n一般介于0.2595(最密堆积)~0.4764(简单立方堆积)之间。补充:实际上,在圆球随机堆积中,n一般在0.36~0.44之间。感谢
陳浩指正,详见
Random close pack。
这意味着什么?只要瓶子里水的体积超过总体积的47.64%,乌鸦投入很多等大圆球,最终它能喝到水。若瓶子里的水体积少于总体积的25.95%,那么投入等大圆球水是不会漫出来的。
如果水体积介于两者之间,乌鸦在投入一定圆球后,瓶子满了,水没出来。它可以把瓶子摇一摇,让圆球堆积地更紧密,说不定能喝到水。
2.如果它扔的都是一模一样的圆球,球是否越小越好?
球的大小对结果影响不大。球小了,孔隙体积与固体体积的比例并不会变。这句话并不绝对,如果石子直径比较大,边界影响不能忽略,大小对结果有一定影响。
3.用大小不同的石子,效果会更好。
相信大家都听过一个故事,一个桶里装满石子,还能继续装小钢球,然后继续装沙子,最后还可以装水。这其实说明了,选择多种尺寸的材料,可以让我们在相同的体积内放下更多固体。
假设乌鸦有一堆大圆球(2cm直径)和一堆小圆球(2mm直径),它完全可以先用大圆球将瓶子装满,再投入小圆球。或者投一点大的投一点小的,混着来,但千万不能先放小的再放大的。
如此一来,瓶子装满石子时,瓶子里的孔隙率大约是0.067(0.2595^2,很难达到这么密)~0.227(0.4764^2),把范围限定地更小,则是0.130(0.36^2)~0.194(0.44^2)。即使瓶子里只有25%的水,它还是能喝到的。
4.最后,投入的颗粒形状也是有影响的。
这很好理解,考虑到乌鸦用的都是圆形石子,我们可以用球来近似。
所以,乌鸦喝不着水不能赖瓶子,瓶子形状其实没有太大影响。
水很少的时候,乌鸦也通过控制投入的颗粒的级配,来让自己喝到水。
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