闭区间的是积分中值定理的直接结论。开区间的可以用拉格朗日中值定理加上导函数的唯一性证明。
若 f\left( x \right) 在开区间 \left(a,b \right) 连续且积分存在。定义 F\left( x \right)=\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt ，则有 F'\left( x \right)=f\left( x \right) ，满足拉格朗日中值定理的条件（积分在闭区间上一定连续，导函数由前提条件，在开区间连续）。由拉格朗日中值定理得 F\left( b \right)-F\left( a \right)=F'\left( \xi \right)\left( b-a \right),\xi\in\left( a,b \right) ，即
F\left( b \right)-F\left( a \right)=\int_{a}^{b}f\left( t \right)dt-\int_{a}^{a}f\left( t \right)dt=\int_{a}^{b}f\left( t \right)dt=F'\left( \xi \right)\left( b-a \right)=f\left( \xi \right)\left( b-a \right),\xi\in\left( a,b \right)
