请问星体塌缩成黑洞前的临界密度是多少?

对黑洞有一个比较典型的误解就是：必须要把物质压缩到某个极端大的密度才能形成黑洞。但事实上并不是这样的。我们来看下面的例题。

假设黑洞密度在 0 ≤ r ≤ r_S （ r_S 为史瓦西半径）内均等分布，计算下面两个问题。

1）求质量为1个太阳（1 M⊙）的黑洞密度。为达成这个密度，需要把地球压缩到半径为多少。

2）将密度为 1g\cdot cm^{-3} 的水做成黑洞的话，史瓦西半径 r_{S} 等于多少。

解：

1）史瓦西半径

r_{S}=2GM⊙/c^2\simeq 3km

1 M⊙的黑洞的「密度」为

\rho=\frac{M}{(4\pi/3)r_{S}^{3}} \simeq \frac{1M⊙}{(4\pi/3)\times(3km)^{3}}\simeq 2\times10^{16}g\cdot cm^{-3}

要达成该密度的话，只需将地球压缩到以下半径就行

R=\left[ \frac{M⊕}{(4\pi/3)\rho} \right]^{1/3}\simeq 40m

2）密度均等的前提下，

r_{S}\equiv\frac{2GM}{c^{2}}=\frac{2G}{c^2}\cdot \frac{4}{3}\pi r_{S}^{3}\rho=\frac{8\pi G\rho}{3c^{2}}r_{S}^{3} , ∴r_{S}=\sqrt{\frac{3c^2}{8\pi G\rho}}

因此，当 \rho=1g\cdot cm^{-3} 时，

r_{S}=\sqrt{\frac{3\times(3\times 10^{10}cm\cdot s^{-1})^2}{8\pi \times(7\times 10^{-8}cm^{3}\cdot g^{-1}\cdot s^{-2})\times(1g \cdot cm^{-3})}}\simeq 4\times10^{13}cm\simeq 3au

这个半径与太阳到小行星带的距离相当。

也就是说，即使是水的密度，只要质量足够大也能够形成黑洞。比如我们银河中心的黑洞人马座A*（SgrA*）的「密度」：

\rho=\frac{M}{(4\pi/3)r_{S}^{3}} \simeq \frac{5\times 10^{6}M⊙}{(4\pi/3)\times (0.8 au)^3} \simeq 1g\cdot cm^{-3}\simeq\rho_{水}

通过以上论证可以看出，是否能够形成黑洞，重要的不是密度，而是质量。

最后，我们回到题主在问题描述中写的问题：中子星塌缩成黑洞前的临界密度是多少?现在我们知道，我们真正需要问的不是「 临界密度 」，而是「 临界质量 」。于是我们尝试来求解。

要使中子星坍缩为黑洞，临界条件时半径等于史瓦西半径，即：

r=r_{S}=2GM/c^2\simeq 3.0(M/M⊙) km

典型的中子星半径为10km左右 ^[1] ，而实际观测的分布范围可宽至8~15km。因此，我们可以大概求出一个临界质量的范围约为2.5~5M⊙。不过这个数值是很不精确的，因为对于中子星这种高密度天体来说，真正的临界质量的求法并不是那么简单，需要通过核物质状态方程式（EOS）来对其解进行限制。根据EOS模型的不同求出来的解也各不相同。利用状态方程式对中子星半径与质量进行限制的方法可以参考以下回答。

事实上，上述中子星的临界质量有一个名称叫做：托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限（TOV极限，Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit）。这个极限在最初在1939年被三人提出来时为0.7M⊙ ^{[2] [3]} ，这个值比白矮星的钱德拉塞卡极限（Chandrasekhar limit）1.44M⊙还要小，因此现在被认为是不正确的。1996年，这个值被认为应在1.5-3.0M⊙范围内 ^[4] ，同年其他研究小组得出2.2-2.9M⊙的结果 ^[5] 。后来，在2017年LIGO对GW170817的观测中，这个值又被改写为：2.17M⊙ ^{[6] [7] [8] [9]} 、2.37M☉ ^[10] 、最终在2019年确定为2.3M☉ ^[11] 。而在对PSR J2215+5135与PSR J0740+6620的观测中分别得出了2.27M☉ ^[12] 与2.14M☉ ^[13] 的结果。另外，对于一颗做刚性转动的中子星，质量极限被认为还会增加18-20% ^{[14] [9]} 。

下面这张被称为「恒星坟场」（Stellar Graveyard）的质量分布图应该更加直观吧。图中描绘的是到2020年5月16日为止所有由LIGO-Virgo观测到的中子星（橙色）与黑洞（蓝色）及部分由X线观测到的中子星（黄色）与黑洞（紫色）。我们很容易就能看出，最重的中子星与最轻的黑洞之间存在着一个几乎没有被发现星体的断层，这个断层表示的质量范围约在2.5~4M☉之间。

可以看到下图中央处发亮的线，由中子星领域一直延伸至黑洞领域，并与一个小黑洞合体成为另一个小黑洞。这是2020年6月23日发表的一次由质量分别为25M☉与2.6M☉的天体合体形成黑洞并观察到的引力波GW190814 ^[15] 。这个质量为2.6M☉的天体是什么至今仍是一个迷。但无论是什么，它都将创造历史：如果是中子星，则是观察史上最重的中子星，如果是黑洞，则是观测史上最轻的黑洞。这对更精确限制TOV极限的范围也会有很大的帮助。

参考

1. ^ Seeds, Michael; Backman, Dana (2009). Astronomy: The Solar System and Beyond (6th ed.). Cengage Learning. p. 339. ISBN 978-0-495-56203-0.
2. ^ Tolman, R. C. (1939). "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid" (PDF). Physical Review. 55 (4): 364–373. https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.364
3. ^ Oppenheimer, J. R.; Volkoff, G. M. (1939). "On Massive Neutron Cores". Physical Review. 55 (4): 374–381. https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.374
4. ^ Bombaci, I. (1996). "The Maximum Mass of a Neutron Star". Astronomy and Astrophysics. 305: 871–877. https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1996A&A...305..871B
5. ^ Kalogera, V; Baym, G (11 August 1996). "The Maximum Mass of a Neutron Star". The Astrophysical Journal. 470: L61–L64. https://doi.org/10.1086/310296
6. ^ Margalit, B.; Metzger, B. D. (2017-12-01). "Constraining the Maximum Mass of Neutron Stars from Multi-messenger Observations of GW170817". The Astrophysical Journal. 850 (2): L19. https://doi.org/10.3847/2041-8213/aa991c
7. ^ Shibata, M.; Fujibayashi, S.; Hotokezaka, K.; Kiuchi, K.; Kyutoku, K.; Sekiguchi, Y.; Tanaka, M. (2017-12-22). "Modeling GW170817 based on numerical relativity and its implications". Physical Review D. 96 (12): 123012. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.96.123012
8. ^ Ruiz, M.; Shapiro, S. L.; Tsokaros, A. (2018-01-11). "GW170817, general relativistic magnetohydrodynamic simulations, and the neutron star maximum mass". Physical Review D. 97 (2): 021501. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.97.021501
9. ^ ^{a b} Rezzolla, L.; Most, E. R.; Weih, L. R. (2018-01-09). "Using Gravitational-wave Observations and Quasi-universal Relations to Constrain the Maximum Mass of Neutron Stars". Astrophysical Journal. 852 (2): L25. https://doi.org/10.3847/2041-8213/aaa401
10. ^ Gao, H.; Zhang, B.; Lü, H. (2016-02-24). "Constraints on binary neutron star merger product from short GRB observations". Physical Review D. 93 (4): 044065. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.93.044065
11. ^ Shibata, M.; Zhou, E.; Kiuchi, K.; Fujibayashi, S. (2019-07-26). "Constraint on the maximum mass of neutron stars using GW170817 event". Physical Review D. 100 (2): 023015. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.100.023015
12. ^ Linares, M.; Shahbaz, T.; Casares, J.; Grossan, Bruce (2018). "Peering into the Dark Side: Magnesium Lines Establish a Massive Neutron Star in PSR J2215+5135". The Astrophysical Journal. 859 (1): 54. https://doi.org/10.3847/1538-4357/aabde6
13. ^ Cromartie, H. T.; Fonseca, E.; Ransom, S. M.; et al. (2019). "Relativistic Shapiro delay measurements of an extremely massive millisecond pulsar". Nature Astronomy. 4: 72–76. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0880-2
14. ^ Cho, A. (16 February 2018). "A weight limit emerges for neutron stars". Science. 359 (6377): 724–725. https://science.sciencemag.org/content/359/6377/724
15. ^ R. Abbott. GW190814: Gravitational Waves from the Coalescence of a 23 Solar Mass Black Hole with a 2.6 Solar Mass Compact Object. ApJL, 896 L44(2020). https://doi.org/10.3847/2041-8213/ab960f