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有限次机会掷骰子,取最后一次的数值,什么样的策略能使数字的期望值最大?

2015-05-21科学

设剩余次数 n 时, 预期的点数期望为 \mathtt{dp}[n] .

只要本次点数比剩余期望大就行.

\mathtt{dp}[n]=\frac16 \sum_{i=1}^6\max(i, \mathtt{dp}[n-1])

没次数时, \mathtt{dp}[0]=0 , 等死, 大于0就要, 总不能不要吧...

dp [ 0 ] = 0 ; dp [ n_ ] := dp [ n ] = Sum [ Max [ i , dp [ n - 1 ]], { i , 1 , 6 }] / 6 ; chance = Reverse @ Table [{ i , N [ dp [ i ], 3 ]}, { i , 0 , # }] & ; chance [ 12 ] // TableForm

  1. 1-4 次抛之前遇到 6 就收手
  2. 5-7 次, 大于 5 收手
  3. 第八次大于 4 就要收手了

不过...多半是收不了手的...

P=\left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(\frac{4}{6}\right)^3 \left(\frac{3}{6}\right)^1=\frac{625}{8748}\approx 7.1\%

随着机会减少, 做人底线逐步降低.jpg

当然, 我们甚至可以很无聊的把这个数列解出来:

\begin{aligned} G_6(x) &= -\frac{2 x^5+10 x^4+15 x^3+45 x^2+468 x-756}{180 x^2-396 x+216}x\\ \mathtt{dp}[n]&=g_6(n) =\begin{cases} 7/2 & n=1 \\ 17/4 & n=2 \\ 14/3 & n=3 \\ 89/18 & n=4 \\ 6-47\cdot 2^{4-n} 3^{2-n} 5^{n-5} & n>4 \\ \end{cases} \end{aligned}

可以看出次数增长时, 期di望xian以指数趋向于 6.

啊, 这不是废话.....