试着用人话把这个大坑理个提纲【
「浮点数」
也就是定长科学计数法（再具体点，定「有效位数」），会「 大数吃小数 」，因为每步计算要「修约」到固定长度的有效数字，其中的出现数字最高位越高（ 越大 ），被 丢掉 的小数位数就越高。
而泰勒展开在自变量大的时候，x^n初期增长就会比下面的n!快，虽然最终会被赶超，但是小数已经损失了，啥都补不回来。
部分解决的方法是pi reduction，就是整除2pi取余数后再算，众所周知sin(x)=sin(2pi+x)。（还有更细，最后是正负pi/4）
然而这一步也有坑，就算你觉得只是输入我们想要的有效位数，当输入非常接近pi的倍数时，也就是输出的值很接近0，它的小数位数会探到一个比你预料的还小的地方，最终会撞到无理数倍数在什么时候接近有理数的问题：
The Difference Between x87 Instructions FSIN, FCOS, FSINCOS, and...
在这里就算intel也作了妥协，如果要绝对精确（到固定位数），这种情况得提升内置的pi的精度到至少两倍有效数字长，而且要提升到多高还不好预测（不严谨地说就是如果存在一个n使得n*pi的精确值在53位(如果long double就64位)二进制有效位数小数尾数后可能有很多个0然后又继续blablabla，那么这个内置pi的精度就得达到53+这个「很多」再+53位才行，不然前面的pi减掉了剩下的0.0000000xxxxxx很小的数的有效数字就不对了）。
「为什么sin(pi)会得到一个小数，把这个小数跟电脑里的pi加起来会得到一个两倍精度的pi？」
所以嵌入式爷传统娱乐项目之一是人均自撸三角函数【具体可以是查表、查表加拟合、cordic等等【不用弧度，而用整数2^n为圆周，这样输入角度的时候已经自动取模（实际是把modpi这事交给了用户去做
已知输入接近pi的倍数（或者就是接近0了），又想求精确值，那才是自己泰勒展开的时候。
另一类小数运算的风格是约定「保留多少位小数」（而非有效数字），也就是定点数，比如一个linux程序（最严格说是posix定义，然后常用gnu实现）「bc」，指定小数位数，不管整数部分飞起来多少位，小数点后保留多少位都是固定的（可用参数调，计算过程中固定），于是直接用这个公式也可以算出一个「尾数最多错一两位（此处省略一本数值计算.pdf）」结果。
这样某种意义上的计算量就「不常数」的。
浮点数之「定长」，追求的是某种程度的「固定计算量、固定计算法（不管你这数数量级多大）」，便于硬件实现，至少加减乘除平方根上还是符合这一认知的。
但对于超越函数们（虽然至今好像也就intel和某奇妙的stc32有硬件弧度sin），就在这个对pi取模的时候，如果输入非常接近pi了，又要绝对精确，也难以固定（代价比不上收益）。所以实际上，它们计算的结果也是精确到「某个小数位」，而非总是精确到「某个数量有效位数」，intel整个文章就是在解释这个事。
「来点我看得懂的」
CatastrophicCancellationVisualizer
js的「toFixed」是个好东西（其实也不是完全的好）（c也可以插一句也能看个大概
printf
(
"@[email protected]
\n
"
,
term
,
sum
);
原版代码计算sin(50)的过程打印展示出来大概是这样：
term sum
50.00000000000000??? 50.00000000000000???
20833.33333333333?????? -20783.33333333333??????
2604166.666666666???????? 2583383.333333333????????
155009920.6349206?????????? -152426537.3015872??????????
5382288910.934743??????????? 5229862373.633156???????????
122324747975.7896????????????? -117094885602.1564?????????????
1960332499612.013?????????????? 1843237614009.856??????????????
23337291662047.77??????????????? -21494054048037.92???????????????
214497166011468.5???????????????? 193003111963430.6????????????????
1567961739849916.????????????????? -1374958627886485.?????????????????
9333105594344740.????????????????? 7958146966458254.?????????????????
4611218179024080?.????????????????? -3815403482378255?.?????????????????
1921340907926700??.????????????????? 1539800559688874??.?????????????????
6842382150736111??.????????????????? -5302581591047237??.?????????????????
2106644750842398???.????????????????? 1576386591737675???.?????????????????
5663023523769889???.????????????????? -4086636932032214???.?????????????????
1340677917559159????.????????????????? 9320142243559378???.?????????????????
2816550246973024????.????????????????? -1884536022617086????.?????????????????
5286318031105526????.????????????????? 3401782008488439????.?????????????????
8917540538302169????.????????????????? -5515758529813729????.?????????????????
1359381179619233?????.????????????????? 8078053266378601????.?????????????????
1881756893160621?????.?????????????????-1073951566522761?????.?????????????????
2375955673182602?????.????????????????? 1302004106659841?????.?????????????????
2747404802477570?????.?????????????????-1445400695817729?????.?????????????????
2920285716919186?????.????????????????? 1474885021101457?????.?????????????????
2863025212665868?????.?????????????????-1388140191564411?????.?????????????????
2597083828615628?????.????????????????? 1208943637051216?????.?????????????????
2186097498834703?????.????????????????? -9771538617834874????.?????????????????
1712169093698859?????.????????????????? 7350152319153720????.?????????????????
1250854101182685?????.????????????????? -5158388692673131????.?????????????????
8544085390592113????.????????????????? 3385696697918981????.?????????????????
5468564638115792????.????????????????? -2082867940196810????.?????????????????
3286397018098432????.????????????????? 1203529077901622????.?????????????????
1857981127373605????.????????????????? -6544520494719832???.?????????????????
9899728939543932???.????????????????? 3355208444824100???.?????????????????
4979742927335982???.????????????????? -1624534482511881???.?????????????????
2368599185376704???.????????????????? 7440647028648227??.?????????????????
1066936569989506???.????????????????? -3228718671246835??.?????????????????
4557999700912108??.????????????????? 1329281029665273??.?????????????????
1849237139285990??.????????????????? -5199561096207168?.?????????????????
7134402543541630?.????????????????? 1934841447334462?.?????????????????
2620629791192194?.????????????????? -6857883438577320.?????????????????
9175874619020288.????????????????? 2317991180442968.?????????????????
3065983232765399.????????????????? -747992052322431.5????????????????
978671869498659.2???????????????? 230679817176227.7????????????????
298739886904352.6???????????????? -68060069728124.87???????????????
87289588272660.31??????????????? 19229518544535.43???????????????
24437174768381.94??????????????? -5207656223846.507??????????????
6560667624672.988?????????????? 1353011400826.480??????????????
1690545151688.566?????????????? -337533750862.0859?????????????
418451770219.9421????????????? 80918019357.85620????????????
99574474162.36962???????????? -18656454804.51342????????????
22796353974.90147???????????? 4139899170.388042???????????
5024765027.089901??????????? -884865856.7018594??????????
1067100965.657896??????????? 182235108.9560366??????????
218489141.2075954?????????? -36254032.25155875?????????
43159201.40794789????????? 6905169.156389147????????
8230206.218144145???????? -1325037.061754998????????
1516026.786425019???????? 190989.7246700208???????
269909.3409815232??????? -78919.61631150235??????
46471.99397064794?????? -32447.62234085441??????
7742.235434267615????? -40189.85777512202??????
1248.747650688324????? -38941.11012443370??????
195.0924338658175???? -39136.20255829951??????
29.53797751117634??? -39106.66458078833??????
4.336168160771630?? -39111.00074894911??????
0.6174766690549712? -39110.38327228005??????
0.08533397858692250 -39110.46860625864??????
0.01144992198729639 -39110.45715633666??????
0.00149227426588682 -39110.45864861092??????
0.00018899116842538 -39110.45845961976??????
0.00002326789722562 -39110.45848288765??????
0.00000278590723487 -39110.45848010174??????
0.00000032451626536 -39110.45848042626??????
0.00000003678989041 -39110.45848038947??????
0.00000000406069431 -39110.45848039353??????
0.00000000043652115 -39110.45848039309??????
0.00000000004571860 -39110.45848039314??????
0.00000000000466669 -39110.45848039313??????
0.00000000000046440 -39110.45848039313??????
0.00000000000004507 -39110.45848039313??????
0.00000000000000427 -39110.45848039313??????
0.00000000000000039 -39110.45848039313??????
0.00000000000000004 -39110.45848039313??????
什么叫「定长科学计数法」，就是有效数字长度一定（二进制53位，约等于十进制17位），有效数字之后不知道是啥了，就可以理解为「??????????」，只要加和的时候碰到过这个位数，那一位就废了。
