谢邀, 关于这个问题, 回顾数系是怎么构建起来的, 就显而易见了. 原本打算留到写专栏文章时来解释, 迟迟未动手, 就借着这个答案来说说.
0. 概述
要了解" 0 为什么不能做除数? "这个问题. 我们有必要回顾一下数字(从 自然数 , 整数 , 有理数 , 到实数 , 复数 )是如何"诞生的". 考虑到以回答这个问题为主, 以及篇幅问题, 我们就只谈到有理数为止(到这里已经足够了.)
为此, 我们先了解两个需要了解的知识点.
0.1. Z-F 集合论之无穷公理
Z-F 集合论九条公理确立了集合论的基础, 这些公理分别说明了集合的 表示 , 构造 方法, 以及 性质. 其中, 数字诞生的起点, 就是其中的" 无穷公理 ":
(\mathbf{Axiom~of~infinity})~\exists\omega, \emptyset\in\omega\wedge\forall x(x\in \omega\rightarrow x\cup\{x\}\in \omega).无穷公理肯定了无限集的存在 .
0.2. 等价关系与商集
数学中, 有一种关系可以说是最基础, 最常见的, 那就是 等价关系 . 定义集合 A 上一个关系" \sim "称为 等价 , 当其满足以下三条性质:
1. ( 自反 ) \forall x\in A, x\sim x ;2. ( 对称 ) \forall x, y\in A , 若 x\sim y , 则亦有 y\sim x ;
3. ( 传递 ) \forall x, y, z\in A , 若 x\sim y, y\sim z, 则有 x\sim z .
一个 集合 A 中的元素, 可以借由定义其上的一个等价关系进行分类 (也就是说, 等价的的元素归为同一类, 称为 等价类 ), 由这些等价类构成的集合, 称为集合 A 的 商集 .
举个例子:
可以验证"同余"是正整数集上的一个等价关系, 我们如用"模7同余", 可以将所有的正整数分为 7 个同余(等价)类, 我们可以给他们命名, 比如七个类分别为"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天".有了以上知识, 现在可以开始构建数字了.
1. 自然数, 整数, 有理数的构造
1.1. 自然数集 .
由无限性公理, 我们可以自然导出以下无穷集合: \{\emptyset,\emptyset\cup\{\emptyset\},\cdots\} , 我们可以给这个集合中的元素命个名:
0=\emptyset ;
1=\emptyset\cup\{\emptyset\} ,
2= 1\cup\{1\}=\emptyset\cup\{\emptyset\}\cup\{\emptyset\cup\{\emptyset\}\}
........
就这样, 我们就有了自然数集. 我们用 \mathbb{N} 表示.
1.2. 整数集
由 \mathbb{N} , 可以按照以下等价关系构成 商集 (\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim :
(m,n)\sim(m',n') 当且仅当 m+n'=m'+n .其中加法为一般意义上的加法. 容易验证这是一个等价关系. 它在 \mathbb{N}\times\mathbb{N} 这个集合上生成的商集是什么样的呢? 举几个例子:
(1,0)\sim (2,1)\sim(3,2)...
(0,1)\sim(1,2)\sim(2,3)...
可以试试看, 以上两个例子中, 六个元素就分别在两个不同的等价类中, 我们可以取每个等价类中的一个代表元素来代表这个类, 事实上, 上面两例就是整数 1 和整数 -1 .
自此, 我们就有了整数集 \mathbb{Z}:=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\} .
1.3 (高能预警)~~有理数集
由 \mathbb{Z} , 我们可以按照以下等价关系构造 商集 (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim :
(m,n)\sim(p,q) 当且仅当 mq=np .其中乘法为整数集中一般意义的乘法. 容易验证这是一个等价关系.
( 重点来了 ), 这里有两件事值得注意:
第一 , 就是这个等价关系是 \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}) 上的, 对于其中任意的元素(有序二元组) (m,n) , 其第二分量是不能为零的.
第二 , 一般书籍上说, 有理数定义为既约分数 p/q 形式 . 这里构造商集的等价关系, 若改用"除法"的形式写出来, 正是隐含了这个意思. 举个例子:
\frac{1}{2}:=(1,2)\sim(2,4)\sim(3,6).....
就这样, 我们定义出了有理数集 \mathbb{Q} .
3. 回归问题本身
那么现在我们来看看题主原来的问题: 为什么 0 不能用作除数?
我们看看有理数集的定义, 若是允许 0 做除数, 也就是说, 我们让以上等价关系定义在 \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} 上, 而不是\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}) 上, 会出现什么结果?
首先, (0,0)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} , 这是显然的. 那么用以上等价关系将 \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} 分类, 会做出几类呢?
我们看看哈......随便举一例....
(0,0)\sim(1,2)\sim(8,2).....
完蛋了, 任意元素都和 (0,0) 等价!!!, 这就是说, 所有元素只归为了一类!!! 我们要干的事情不是要扩充数域吗???? 只归为一类这不就毫无意义了吗????
到这里, 大家是不是就明白了, 为什么不能用 0 做除数的原因了呢? 至于之后的实数, 复数, 都是进一步在有理数上通过相应的等价关系构造商集而生成, 自然, 这个性质也就继承下来了.
写完答案一看, 哈, 2019年了. 那就以此回答开年, 从「 0 」开始, 祝大家在新一年学有所成. 新年快乐了!!!
2019.1.1 凌晨00:20
