不知道你看的是哪本書？如果只用 [0,+\infty) 一個區間，那你再把書上的證明過程過一遍，看看條件改變後哪些證明環節出現了問題，變得不再適用了？然後你再反過頭來琢磨下這個問題，很容易就有答案。
我猜多半會是這樣：
f(x)=cos\sqrt{x}，f'(x)=\frac{-sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} ，
由於在 [1,+\infty) 區間上保證了 x\geq1 ，因而也就有 |f'(x)|\leq\frac{1}{2} ，
從而在 [1,+\infty) 區間上 |f(x_2)-f(x_1)|=|cos\sqrt{x_2}-cos\sqrt{x_1}|=|f'(\xi)(x_2-x_1)|\leq\frac{1}{2}|x_2-x_1| ，從而匯出該區間上的均勻連續性。前面 [0,1] 區間上由連續自然能得出均勻連續的結論。
所以拆出兩個區間來，無非是方便後面不等式放縮而已。
