蝴蝶效應 課程分享18
這是通識選修課【經濟研究中的計算方法】第七講的內容之一。
一、一杯咖啡帶來混沌初開
1961年冬天，年輕的麻省理工學院助教勞侖茲，在一台Royal McBee （皇家·麥克比）LPG-30電腦上，用一個僅包含12個微分方程式的簡單模式進行氣候仿真模擬。在完成了一次計算後，他想用同樣的模式重復。為了節省時間，他沒有從頭到尾重復這次計算，而是從程式的中段開始。於是他把上一次計算到這個位置輸出的數據，作為這次計算的初始條件。然後，為了避開電腦惱人的噪音，他出去喝了杯咖啡。回來的時候，他被驚呆了。
根據常識，同樣的程式和數據顯然會導致同樣的結果。但是第二次的預報結果與上一次大不一樣。開始他認為是電腦的故障，排除了這種可能後，他發現，他輸入的不是完整的數據。
勞侖茲的一個偶然發現，開辟了一個全新的科學領域——「混沌理論」，並引發了20世紀從相對論、量子力學之後的第三次科學革命。
二、勞侖茲
愛德華·諾頓·勞侖茲（Edward Norton Lorenz，1917— 2008）是美國氣象學家，混沌理論之父，蝴蝶效應的發現者。1917年5月23日勞侖茲出生在美國西康涅狄格州哈特福德。2008年4月16日因癌癥在麻省的家中去世，享年90歲。
勞侖茲1940年畢業於哈佛大學，並獲得數學專業學位。第二次世界大戰期間，勞侖茲作為氣象預報員曾在美國陸軍航空兵團服役。1943年獲麻省理工學院理科碩士學位。1948年，進入該學院任教，從事氣象學領域研究。1963年獲美國氣象學會邁辛格獎，同年提出「混沌理論」（Chaos Theory）。1969年獲美國氣象學會羅斯比研究獎章。
勞侖茲1972年提出「蝴蝶效應」（Butterfly Effect）。1973年獲西蒙斯紀念金獎。1975年他成為美國國家科學院院士。1983年獲得瑞典皇家科學院頒發的克拉福德獎（Crafoord Prize），這一獎項主要授予研究領域不在諾貝爾獎授獎範圍內，而確有突出成就的科學家。1987年退休。1991年勞侖茲獲得地球和星體學方面的基礎科學「京都獎」（Kyoto Prize） ，評委會稱他的混沌理論「繼牛頓之後，為人類自然觀帶來了最為戲劇性的改變」。
三、蝴蝶效應
那天他走了一條捷徑，沒有令電腦從頭執行，而是從中途開始。他把一個中間解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而當他穿過大廳下樓喝了杯咖啡以後回來再看時卻吃驚地發現：天氣變化同上一次的模式迅速偏離，在短時間內，相似性完全消失了，簡直相差十萬八千裏！再次驗算發現電腦並沒有毛病。勞侖茲發現，由於誤差會以指數級增長，所以在這種情況下，一個微小的誤差隨著不斷推移將會造成截然不同的後果。
於是，勞侖茲認定，他發現了新的現象：「對初始值的極端不穩定性」，即：「混沌」，又稱「蝴蝶效應」。這個發現非同小可，以致科學家都不理解，幾家科學雜誌也都拒登他的文章，認為「違背常理」：相近的初值代入確定的方程式，結果也應相近才對，怎麽能大大遠離呢！
1963年，勞侖茲在美國【氣象學報】上發表了題為「確定性的非周期流」的論文，提出了在確定性系統中的非周期現象。第二年，他發表了另外一篇論文，指出對於模式中參數的微小改變將導致完全不一樣的結果，使有規律的、周期性的行為，變成完全混亂的狀態。
不過，他的發現沒有引起任何註意，直到十年後他提出「蝴蝶效應」這個通俗卻驚人的想法，才讓人們了解到這一現象的重要性。
1972年美國科學發展學會第139次會議上，勞侖茲發表了題為「可預測性：巴西一只蝴蝶扇動翅膀，能否在德薩斯州掀起一場龍卷風」的演講。他認為，一個微小的初始條件變化可能導致一連串逐漸放大的改變，最終導致完全不同的結果——這個看似荒謬的論斷，打碎了所有人關於「因果決定論可預測度」所存的幻想，最終產生了當今世界最偉大的理論之一——「混沌理論」。勞侖茲後來說，他原本想用海鷗做比喻的。一個同事告訴他，用「蝴蝶」可能會更生動，而選擇「巴西」則純粹是為了押韻。
蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反應，最終導致其他系統的極大變化。
蝴蝶效應說明，某些事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。
勞侖茲從這個驚人的結果發現，準確預測天氣只是人類的幻想，進而揭示出混沌現象具有不可預言性和對初始條件的極端敏感依賴性這兩個基本特點，勞侖茲最初使用的是「海鷗效應」來形容這種現象，不過這並不是一個完全新穎的比喻：愛倫·坡曾聲稱人們揮著手可能會影響大氣條件，但勞侖茲是第一次對此進行系統思考並形成新的理論的人。他把這一發現寫成研究論文，於1963年出版，並於1972年正式提出「蝴蝶效應」這一著名的名詞。
後來勞侖茲簡化了方程式組，只是抽象地刻劃了大氣真實運動的基本特點，既考慮了流動的速度，又考慮了熱的傳輸，與真實的大氣運動是大體類似的。他建立的3個方程式是
dx/dt=10(y-x)
dy/dt=28x- y-xz
dz/dt=(8/3)z+xy
x、y、z是三個主要變量，t是時間，d/dt是對時間的變化率；常數28對應於不平穩對流剛開始後系統的狀態。
用電腦進行這種「叠代」運算是很容易的。洛侖茲把x、y、z作為座標畫出了一個座標空間，描繪了系統行為的相軌域，他吃驚地發現，畫出的圖顯示出奇妙而無窮的復雜性。這是三維空間裏的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著一種新的序，軌線被限制在某個邊界之內，決不會越出這個邊界；但軌線決不與自身相交，在兩翼上轉來轉去地環繞著。這表示系統的性態永遠不會重復，是非周期性的，從這一點來說，它又純粹是無序的。
這就是1963年洛侖茲發表在【氣象科學雜誌】20卷第2期上的題為【確定性非周期流】中所列出的方程式組。由於其中出現了xz、xy這些項，因而是非線性的，這意味著它們表示的關系不是簡單的比例關系。一般地說，非線性方程式組是不可解的，洛侖茲的方程式組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數值方法計算解。用初始時刻x、y、z的一組數值，計算出下一個時刻它們的數值，如此不斷地進行下去，直到得出某一組「最後」的數值。這個方法叫做「叠代」，即反復做同樣方法的計算。
正如這篇論文的標題所表示的，從確定性的方程式和確定的初始狀態（x、y、z的初始值）出發，經過多次叠代後，卻得出了非周期性態的結果。
四、經濟學案例
2003年，美國發現一宗疑似瘋牛症案例，馬上就給剛剛復蘇的美國經濟帶來一場破壞性很強的颶風。扇動蝴蝶翅膀的，是那頭倒黴的瘋牛，受到沖擊的，首先是總產值高達1750億美元的美國牛肉產業和140萬個工作崗位；而作為養牛業主要飼料來源的美國玉米和大豆業，也受到波及，其期貨價格呈現下降趨勢。但最終推波助瀾，將「瘋牛症颶風」損失發揮到最大的，還是美國消費者對牛肉產品出現的信心下降。在全球化的今天，這種恐慌情緒不僅造成了美國國內餐飲企業的蕭條，甚至擴散到了全球，至少11個國家宣布緊急禁止美國牛肉進口，連遠在大洋彼岸中國廣東等地的居民都對西式餐飲敬而遠之。這讓人聯想到時下的禽流感，最初在個別國家發現的禽流感，很快波及全球，就算在沒有發現禽流感的地區或國家，人們也會談「雞」色變。
1998年亞洲發生的金融危機和美國曾經發生的股市風暴實際上就是經濟運作中的蝴蝶效應；1998年太平洋上出現的厄爾尼諾現象就是大氣運動引的蝴蝶效應。蝴蝶效應是混沌運動的表現形式。當我們進而考察生命現象時，既非完全周期，又非純粹隨機，它們既有鎖頻到自然界周期過程(季節、晝夜等)的一面，又保持著內在的自治性質。蝴蝶效應也是混沌學理論中的一個概念。它是指對初始條件敏感性的一種依賴現象：輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端壓倒一切的差別。
註：那部美國電影【蝴蝶效應】的故事其實不是真正意義的蝴蝶效應。一個人截然不同的童年，對成年後所帶來的影響巨大，這不是蝴蝶效應。
意義相近的中國成語應該是「防微杜漸」，或「千裏之堤，潰於蟻穴」。
五、【明朝的兩只蝴蝶】
（作者：姜欽峰 來源：【第二課堂（高中版）】2012年第2期）
明末歷史上發生了兩件小事。公元1583年，明萬歷十一年，遼東總兵李成梁率兵攻打建州女真部的古勒城。明軍遭到激烈抵抗，久攻不下，於是女真人塔克世和父親兩人冒險進城勸降。沒想到勸降未成，此時突然城破，明軍沖進去不分青紅皂白，竟把塔克世父子也殺了。父子倆本來是為明朝做事，不料遭此慘禍，明朝解釋這是「誤殺」，給塔克世的兒子賠了30匹馬了事。誤殺了兩個邊塞草民，對於大明王朝來說，簡直就不算個事兒，誰也沒把它放在心上。
再說另一件小事。在塔克世父子被殺45年後，公元1628年，崇禎皇帝即位了。此時明朝已經風雨飄搖，崇禎接手的是一個爛攤子，國內民變四起，外有強敵虎視。內憂外患，連年征戰，耗資巨大，朝廷陷入了財政危機。崇禎剛剛登基，便下令在全國整頓驛站，裁撤驛卒，以節省財政支出。驛站的主要職能是傳遞公文，並為過境的官員提供服務，驛卒就是這個機構中最底層的人，幹活辛苦收入極低。裁員進展順利，也收到了預期效果，據說僅此一項，每年就能為朝廷節省白銀68萬兩。
精減機構，節流開源，本來不失為明智之舉，但是朝廷只管裁減，卻不負責安置。與皇帝的江山相比，百姓的死活顯然是小事一樁，但這對銀川驛站的驛卒們來說，卻是天大的事！當時西北連年大旱，餓殍遍野，樹皮都吃光了，人吃人的慘劇時有發生。在這種情況下，失去了生活來源，要麽等死，要麽揭竿而起。餓死是死，造反也是死，兩條都是死路，要做出選擇其實一點都不難：與其做餓死鬼不如做飽死鬼，運氣好的話，說不定還能封妻蔭子，留名千古。
在這批下崗的驛卒當中，有一個名叫李自成的年輕人。李自成是陜西米脂縣人，世代貧農，小時候給地主家放過羊，長大後在銀川驛站謀了個驛卒的差事，好歹能混口飯吃，沒想到崇禎新官上任三把火，一紙令下，就斷了他的生路。康熙【米脂縣誌】記載：「明末李自成，銀川驛之馬夫耳。因裁驛站，饑荒，無所得食，奮臂一呼，卒至土崩，不可救！」李自成走投無路，被迫走上了革命道路。
1644年春天，李自成率農民軍攻入北京紫禁城，順便搶了崇禎的皇帝寶座。當年的銀川驛卒以彼之道還彼之身，崇禎終於嘗到了下崗的滋味，絕望中上吊自殺。崇禎恐怕做夢都想不到，當年裁掉一個小小的驛卒，竟為自己培養出一位掘墓人！後悔也沒用了，如果不是打仗缺錢，崇禎也不會想到裁撤驛卒。跟誰打仗呢？明朝當時最主要的敵人，就是山海關外的清軍。那麽清軍又是怎麽冒出來的呢？這就要提到61年前發生的那件小事，因為明軍當年「誤殺」了兩個女真人，即前面提到的塔克世和他的父親。
塔克世有個兒子，名叫努爾哈赤。史書記載，努爾哈赤以十三副遺甲含恨起兵，從「含恨」二字不難看出，他為什麽要造反。殺父之仇，不共戴天！但他不敢與明朝公然為敵，只能暗中積蓄力量，苦心經營。幾十年後，努爾哈赤統一了女真各部，建立後金政權，雄踞關外。努爾哈赤死後，他的兒子繼位，改國號為大清。
清軍野心勃勃，開始逐鹿中原，不料被明朝精銳擋在山海關外，無法前進半步。恰在此時，李自成完成了對明朝的最後一擊，天賜良機，清軍趁機揮師入關。1644年的北京城，就像一個熱鬧非凡的大戲台，你方唱罷我登場。李自成搶了崇禎的位置，可惜只當了42天的皇帝，又被清軍趕走，來也匆匆去也匆匆。紫禁城再次易主，大清順治皇帝登極，他就是努爾哈赤的孫子。61年前，努爾哈赤的父親和祖父被明軍誤殺，只賠了30匹馬！
兩只「蝴蝶」，輕輕扇動了幾下翅膀，微風吹到1644年，終於引發了一場龍卷風，大明帝國隨風飄散。
