想像一下你是一個973首席科學家，你的課題是用一個牛逼閃閃超級電腦模擬一杯水，看看在裏面慢慢拽鐵球阻力有多大。你的想法很簡單：直接精確模擬每個水分子！
你給電腦裏輸入了水分子的真實大小（一個參數），形狀（比如說用了2000個參數描述）和不同距離的作用力（又用了2000個參數），你的超級電腦很牛，直接模擬了10^26個水分子。然後你把鐵球也建了模放了進去，用計算模擬的方法算出了讓鐵球慢慢前進需要克服的阻力。和實驗一比，發現精確吻合！好開心，只要再模擬幾回，多攢點數據就可以發nature了！
這時系統管理員給你發email，說你占了太多的cpu時間，別人啥事都幹不了。讓你想辦法把計算量減少一點。
怎麽辦呢？你想了想，覺得鐵球這麽大，你不用把模擬搞得這麽精細也能得到正確答案。所以你決定把模擬用的水分子體積加10倍，這樣就只要模擬10^25個分子了。但是光這樣搞不行，得出的結果肯定不對，因為有些納米級的小運動造成的宏觀效果沒了。這時你有一個學生說，老板，其實咱可以試著 改改另外那4000個參數，說不定能把失去的東西給補償回來 。你覺得靠譜，開動聰明的大腦想了想，心算出了每個參數需要的改變。於是你用更大的分子和新的參數重新計算， 精確的再現了之前得到的數據 。（註意，這時你已經對你的系統進行了一次 renormalization ）
系統管理員覺得你好欺負，又要求你降低占用的資源。
你大手一揮說「這簡單，我能把cpu時間降到1/10000000000」，你就把剛才那個增大分子尺寸+調整參數的過程重復了10遍，現在你的分子體積比真實水分子大10^11次方倍，但是你仍然牛逼的 算出了和實驗精確相符的阻力 。
在你的nature 文章裏，把為了簡化計算發明的這個方法叫 Renormalization group (RG) 。把每次模擬時水分子的大小叫做 RG scale , 然後你把每次用的參數按照水分子的大小列了個表，把它們在尺寸增加時的變化，叫做參數的 RG running 。你把用這種方法得到的這個新模型，叫做 low energy effective theory （EFT） .
最後，你有點驚訝的發現，當你一步步增大水分子尺寸時，本來都很關鍵的4000個參數，有些幹脆變成0了，有些參數和其它的參數成正比了。總之到最後，你只用了大概10個自由參數就完美的描述了這一杯水。你把那些最後沒用的參數叫 irrelevant parameters ，把它們描述的形狀/作用力叫 irrelevant operator . 你把這些irrelevant parameter/operator 都去掉，得到的那個精簡的理論模型就叫做 renormalizable theory 。它和你之前得到的 EFT 幾乎是一樣的。
這時，系統管理員又來欺負你，說你能不能就模擬兩個水分子，這樣他就可以用超算玩遊戲了。但是這回你兩手一攤，說哥們這真不行，如果我的水分子選的比我的鐵球還大，那無論怎麽調參數，我的計算肯定失敗，下一篇science就發不出來了！（在水分子的例子裏，RG scale不應當接近鐵球的尺寸，在真正的場論裏，有技術可以允許把RG scale選擇的和物理過程的尺寸相當。但是在任何情況下， RG scale都不應該比物理過程的尺寸更長。 ）
而且，重整化了很多次之後，似乎你得到的這個的系統越來越不像一個個水分子。那它像什麽呢？你發現剩下的那幾個參數裏，其中一個的計算值和實驗測出來的密度一樣，其中一個和溫度一樣，另一個和壓強一樣，等等。也就是說這個系統經過了多次重整化之後變得更像一杯連續流體而不是很多小分子。這個現象也非常普遍，因為自然界中不同尺度的現象本來就是很不一樣的。你於是在文章中指出重整化可以用來研究不同尺度的規律之間的聯系和轉變。
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吐個槽，「重整化群」真是物理名詞界的一朵奇葩，把一個本來平易近人的詞轉譯的不明覺厲。這個詞英文是 renormalization group（RG）. Normalize 大家都認得，基本意思是給一個變量乘個常數，讓它更符合一些簡單要求。比如幾何裏說 normalized vector, 就是說改變了一個向量的定義，讓它的長度等於一. re-normalize 就是不斷的 normalize. group 這裏是泛指變換，不指數學上嚴格的群。renormalization group 的字面意思就是「不斷重新定義參數的一組變換」。
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警告！前方有大量物理名詞出沒！！
重整化群在物理中有很多深遠的影響。 標準模型 是我們描述粒子物理的基本理論，它是一個 renormalizable theory . 從RG的角度看，它就相當於我們在上面把尺度擴大的10^10得到的effective theory。也就是說，真正的基本理論埋藏在比標準模型小的多的尺度。標準模型的尺度是多少呢？是10^-18米。所以終極理論描述的過程要比這個還小的多。我們離終極理論還很遠很遠。
現在想象，如果你的電腦無限強大，你能模擬無限大的一杯水。（現在不考慮鐵球了）你不斷的重復上面的這個RG過程，最後會怎麽樣呢？很可能，最後當你增大分子體積的時候，你發現系統的所有參數都不再需要變化了！這時，你就說你的系統有了 scale symmetry ，尺度不變性。你把這個尺度不變的模型叫一個 不動點 。後來你發現，可以亂改最初的那個精確分子模型的參數，但大部份情況下，經過很多輪RG running，它還是跑到了同一個不動點。你就說所有這樣的微觀理論都屬於同一個 universality class . 有時系統也會跑到另一個不動點。 所以你發現RG對輸入的微觀系統實作了一個分類。這個和機器學習很像。(如何理解「深度學習和重整化群可以建立嚴格對映」，這一結論對領域有何影響？ - 物理學) 兩個非常不一樣的系統宏觀上行為可以是完全相似的（屬於同一個 universality class ）。比如在三相點的水，和在相變臨界態的鐵磁體就可能屬於同一個universality class。在物理體系裏，這個分類和相變的對稱性破缺有關。
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@Alex Huang 問了一個很好的問題：重整化群對什麽樣的系統是有效的？也就是說，什麽情況下這個辦法能有效的簡化模型，降低計算量？
重整化群有效本質原因是 不同尺度的過程之間往往有一種相對的獨立性。如果你的系統是這樣的，那重整化群的方法會給你有用的結果。
想像一下你站在一艘長200米的大輪船上，波長一米的小浪你能感覺到嗎？即使同樣的浪高，如果波長變成200米，這浪就能讓船晃起來，讓你暈的不行。所以， 短距離的過程（波長一米的浪）對長距離的過程（大船的行駛）基本影響不大 ，最多可能就是改變了大船遇到的阻力。所以如果我們在模擬時可以 不直接再現這種短距離過程，只要改變一些長距離的參數 （行船的阻力） 把它們的影響合適的加進去 ，就仍然可以精確的模擬系統長距離上的行為。當然在更復雜的問題裏，你需要用計算的方法得出每一個參數隨RG scale的變化，這樣你自然能算出最終那些參數是重要的。
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最後，我在這裏故意回避了量子場論，犧牲了一些技術細節，是想讓非物理專業的讀者對重整化的概念和操作有一個直觀的認識。本文的目的是讓讀者以後能想起來用RG的思路解決問題。以上對RG的理解是上世紀量子場論的重大進步之一，後來也被用於描述其它物理體系。主要的推動者是前年去世的 Kenneth G. Wilson, 這個理解方式也被叫做Wilsonian RG。基於這個想法，Wilson同時也提出了用離散格點模擬量子場論的辦法，這個方法今天叫lattice QCD, 需要用到目前世界上最好的超級電腦，和本文中水分子模擬也有更多直接對應的地方。我昨天聽說，lattice qcd終於被發展到可以從第一原理出發，精確的計算質子和中子的質素差。（這也是當下唯一的辦法。） Wilson泉下有知，也可以安心了！本小弱特以此文向Wilson和做lattice qcd的猛士們致敬。
