這個問題蠻有趣的。從數學的角度來說，我的第一感與 @Rochel1i 最後一段一致。設 B_2\subseteq \mathbb{R}^2 是半徑為2的圓盤， \Gamma 是 \mathbb{R}^2 中所有可求長的曲線的集合， \mathcal{L} 是 \mathbb{R}^2 中所有可求面積且邊界可求長的點集的集合， s:\Gamma\to \mathbb{R} 把曲線映到其長度， \partial:\mathcal{L}\to \Gamma 把圖形映到其邊界（這樣 C:=s\circ \partial:\mathcal{L}\to \mathbb{R} 就是把圖形映到其周長的對映）， A:\mathcal{L}\to \mathbb{R} 是把圖形映到其面積的對映，則 A(B_2)=C(B_2) ，即 B_2 的面積等於 B_2 的周長。就像現在我這個回答的評論區中討論一樣，從數學的角度是可以比較 B_2 的面積與周長的，因為它們都是實數，而實數是可以比較的。
這麽說在物理上看起來是很奇怪的，因為我們知道面積與周長不能「相等」。那麽問題出在哪裏呢？主要是，上面定義的對映 A 與 C 都是映到 \mathbb{R} 的，也就是之前所說的面積和長度在數學中的標準定義都是一個實數，其類別是相同的（回顧 s 與 A 在數學中的標準定義： s 定義為曲線上折線段長度之和的上確界，故映到的值是一個實數； A 就單純是一個Lebesgue測度，只不過是限制在 \mathcal{L} 上的，因此映到的值也是實數）。但是看看實數集 \mathbb{R} 這個東西，它本身並不帶有「因次」這個結構，所以數學上周長與面積的「標準定義」沒法描述「因次」這個概念。
那麽，如何在數學上去描述「因次」這個結構呢？或者具體而言，如何重新定義，使得面積和長度是兩個類別不同的東西，也即不要讓面積和長度只是一個單純的實數，而是要附加額外的結構？一種辦法是將面積與長度人為隔離開。比如，將 \mathbb{R} 改造成 \mathbb{R}^2 ，然後讓第一個分量代表長度，第二個分量代表面積，然後上面提到的 s,A,C 這些對映都改成映到 \mathbb{R}^2 的。在這種定義下， A(B_2)=(0,4\pi) ， C(B_2)=(4\pi,0) 。我們很高興地看到，此時 A(B_2)\ne C(B_2) ，即 B_2 的面積不等於 B_2 的周長。
當然這個方法看起來好像有點愚蠢，因為面積和長度其實不是完全不同，它們本質上是同源的，即面積是具有長度的平方這個因次的。我們最好將本質上不同的因次隔離開，然後想出一種方法自動組合出這些因次的平方、立方等乘積。事實上， 題主給出的陶哲軒的那篇網誌給出了這樣的「因次結構」的構造 。比如 M_1,\cdots,M_n 是事先選出的基本因次（物理中 n=7 ），先按照上述方法把這 n 個因次隔離開，即 V=\mathbb{R}^n=\bigoplus_{i=1}^n V_i ，其中 V_i 是 V 的一維線性子空間，對應因次 M_i 。然後令 V_i 的對偶空間 V_i^* 對應 M_i^{-1} 這個因次。定義 V_i^{\otimes k }=\begin{cases} V_i\otimes \cdots \otimes V_i (k\text{ times}) & \text{if }k\geq 0 \\ V_i^*\otimes \cdots \otimes V_i^* (-k\text{ times}) & \text{otherwise} \end{cases} 。然後定義 (k_1,\cdots,k_n) 型「含因次值」為 \bigotimes_{i=1}^n V_i^{\otimes k_i} 中的張量，它對應 \prod_{i=1}^n M_i^{k_i} 這個因次。兩個含因次值相乘定義為其張量積，但不同型的含因次值不定義其加法。 在這種定義下，假如說把 M_1 看成長度這個因次，則 C(B_2)\in V_1 （也即是 V_1 的一個元素）而 A(B_2)\in V_1\otimes V_1 （也即是一個雙線性對映 V_1\times V_1\to\mathbb{R} 的對偶對映，根據張量的某一種構造）。我們高興地發現， A(B_2)\ne C(B_2) ，即面積與周長不相等，因為連類別都不一樣。
