總結一下學了那麽久的同倫論吧
一.引入同倫群的原因，同倫群在很大程度上決定了一個空間的同倫類別，在整個同倫論中，同倫群是同倫論的核心。
同倫群 \pi_{n}(X,x_0) 的定義是 S^n 到 X 的保持基點同倫類 [(S^n,s_0)\longrightarrow (X,x_0)]=\langle S^n, X\rangle
而說到同倫群就不得不說CW復形，是因為我們有下面定理
CW approximation ：對任何空間 X ，都有一個CW復形 W ，和弱同倫等價 W\longrightarrow X （即誘導所有階同倫群的同態 \pi_n(W)\longrightarrow \pi_n(X) 是同構）。值得註意：弱同倫等價只是一個連續對映，並不是等價關系
而又有定理告訴我們 弱同倫等價誘導任意系數的同調和餘調的同構 ，這就非常有意思了，同倫群和同調群兩大不變量都在弱同倫等價下不變，所以我們只需研究CW復形的同調或是同倫就能很大程度上推廣到任意空間
CW復形是一個聚萬千好性質於一身的空間，隨便列舉一下都可以說個兩三行：
- 正規（normal）
- 局部可縮（蘊含局部路徑連通）
- 任何CW復形 X 和它的一個子復形 A ， (X , A) 具有同倫延拓性質，即給定空間 Y 和對映 g:X\times 0 \cup A\times I \longrightarrow Y ， g 總可以延拓至 X\times I 。這個性質在延拓問題上有奇妙的作用：
為了延拓至 X （讓上圖交換），只需要在同倫意義下延拓（讓上圖同倫交換）即可，障礙理論的延拓思路就是如此
為什麽說同倫群在很大程度上決定了一個空間的同倫類呢？因為我們有下面定理
Whitehead's Theorem：
1.CW復形之間的弱同倫等價是同倫等價
2.若 X 是CW復形， f:Y\longrightarrow Z 是弱同倫等價，那麽 f 誘導的 [X, Y] \rightarrow[X, Z] 和 \langle X, Y\rangle \rightarrow\langle X, Z\rangle 都是對射
我們知道，CW復形是由胞腔堆砌而成，而若解決了最簡單的胞腔：球面 S^n 的高階同倫群，就能在一定程度上解決CW復形的同倫群。S^n 的高階同倫群的計算是一個古老的問題，至今仍未完全解決，Serre在上世紀50年代用譜序列為工具，證明了
球面高階同倫群 \pi_{i}(S^{n}) 當 i>n 時是有限abel群，除了 n 是偶數且 i=2n-1 時，此時 \pi_{2n-1}(S^{n}) 同構於 \mathbb{Z} 直和一個有限群
所以我們只需要計算同倫群的素因子。
最新的進展是王國禎教授計算出了60和61階球面穩定同倫群質數2的因子，證明了61維球面只有唯一的微分結構，並行表在Annals of Mathematics上。對球面同倫群我們還知之甚少，必須發展新的工具才有望解決
二. 高階同倫群可以看成某個空間的基本群，球面的穩定同倫群
對任意空間 X,Y 我們有自然同構 \langle \Sigma X, Y\rangle \rightarrow\langle X, \Omega Y\rangle
所以 \pi_{n+1}(Y)\cong \langle S^{n+1}, Y\rangle \cong \langle \Sigma S^n, Y\rangle \cong \langle S^n, \Omega Y\rangle\cong\pi_{n}(\Omega Y) ，所以loop space的同倫群相當於都降了一階
那麽 \pi_{n+1}(Y)\cong \pi_{n}(\Omega Y)\cong\pi_{n-1}(\Omega^2Y)\cong\cdots\pi_{1}(\Omega^nY)
同倫雙角錐定理：懸浮對映 \Sigma :\pi_{i}\left(S^{n}\right) \rightarrow \pi_{i+1}\left(S^{n+1}\right) 是同構當 i<2 n-1 時，是滿射當 i=2 n-1 時
推論：
n\geq i+2 時，球面同倫群穩定\pi_{n+i}(S^n)\cong \pi_{n+1+i}(S^{n+1}) \cong \pi_{n+2+i}(S^{n+2}) \cong \pi_{n+3+i}(S^{n+3}) \cong \cdots
三. 為何又要引入譜（spectra）的概念來推廣同調理論？
同倫群和同調的關系在很早就被發現：
Hurewicz定理：對於一個 n 連通（ n\geq 1 ）的空間 X ，Hurewicz map :\pi_{n+1}(X)\longrightarrow H_{n+1}(X) 是同構， \pi_{n+2}(X)\longrightarrow H_{n+2}(X) 是滿射。（n連通意思是 \forall i\leq n , \pi_i(X)=0 ）
這樣的聯系暗示著同倫論和同調論還有更深刻的聯系，每個範疇上我們都可以把空間 X 到另一個固定的空間 K 的態射提取出來做出餘調理論，例如de Rham餘調就是在流形的範疇上把光滑函數 \Omega^{k}(X) 提取出來做出的餘調理論。
CW範疇內我們也可以做同樣的事情，任意給一個譜： \left \{ K_n \right \} 滿足 K_n\approx \Omega K_{n+1} （ \approx 表示弱同倫等價），我們都有一個CW範疇上的reduced餘調理論 \tilde{h}^n(X)=\langle X, K_n\rangle
對任給的pointed CW pair (X , A) ，都有長正和列
\cdots \rightarrow \tilde{h}^{n}(X/ A) \stackrel{p^{*}}{\longrightarrow} \tilde{h}^{n}(X ) \stackrel{i^{*}}{\rightarrow} \tilde{h}^{n}(A) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} \tilde{h}^{n+1}(X/A ) \rightarrow\cdots
當然我們也會得到unreduced餘調理論 h^n(X)=[X, K_n] （ [-,-] 表示對映的自由同倫類，即無需保持基點），但在穩定同倫和廣義同調理論中，我們通常只關註reduced (co)homology theory，因為由reduced (co)homology theory構成的範疇和unreduced (co)homology theory構成的範疇是 範疇等價 的當 K_n=K(G,n) 時，也就是Eilenberg-Macline spectrum，這時匯出的(un)reduced餘調理論竟然和 G 系數的(un)reduced奇異餘調理論有如下的自然同構
[ X, K_n] \overset{h}{\longrightarrow}H^{n}(X;G)
其中 h([f])=f^*(\alpha) （ \alpha 是 H^{n}(K_n;G) 中一固定元素）
熟悉範疇的同學就會發現，這是在說奇異餘調 H^{n}(-;G) 是 可表 的！
這個定理在障礙理論中起重要作用，而且有很多有趣的結論，例如：
給定CW復形 X,Y ，滿足 Y=K(G,n)，Ext(H_{n-1}(X),G)=0 （特別地， X 是 n-1 連通空間時）
那麽[X,Y] \cong H^{n}(X;G)\cong Hom(H_n(X),G)\cong Hom(H_n(X),H_n(Y))
這告訴我們 X 到 K(G,n) 的對映同倫類 完全由誘導的同調的同態決定 ：f\sim g\Leftrightarrow f_*=g_*
事實上，譜和（上）同調理論的聯系遠不止於此，前面提到的奇異餘調 H^{n}(-;G) 可以由Eilenberg-Macline spectrum表出只是冰山一角，實際上任何cohomology theory都可以由一個譜，這就是 Brown表示定理 ，深刻的揭示了譜和餘調理論的聯系。所以研究譜就是在研究餘調理論，兩者已是你中有我我中有你，缺一不可。一個non-trivial的例子就是K-theory，以cohomology theory的視角來看K-theory就會發現，Bott周期定理可以用譜的語言來描述：
存在弱同倫等價 \mathbb{Z}\times BU\approx\Omega^2BU
這就是Stable homotopy另一個出發點，第一個出發點是原先上文的說到的球面穩定同倫群，透過（球面）譜來研究球面穩定同倫群。那麽Stable homotopy的第二個出發點就是研究（上）同調理論，透過譜和譜範疇的同倫不變量來研究（上）同調理論，而stable homotopy的內容實在過於豐富，就此打住。
四. 對映的提升和延拓問題
最後說一說障礙理論，障礙理論完全解決了CW pair 在simple空間 Y （simple即 Y 路徑連通，且 \pi_1 在高階同倫群 \pi_n 上的作用平凡）上的延拓問題
假設 Y 是simple空間，那麽 Y 有principle postnikov tower \left \{ Y_n \right \} ，由於 Y\longrightarrow \lim_{\longleftarrow }Y_n 是弱同倫等價，只需將對映延拓到每個 {Y_n} 上即可，而延拓至到 {Y_n} 的障礙類來自於 \gamma_n\in H^{n+1}\left(X, A ; \pi_{n} Y\right) ，當每個障礙類都是0時，我們就可以延拓到所有的 {Y_n} 上，更多細節可以參考我寫的notes
更新： 補充一些references
classical Homotopy Theory :
- Hatcher, Algebraic Topology （幾本聖經之一）
- G W. Whitehead, GTM 61 Elements of Homotopy Theory
- Spaniers, Algebraic Topology
Stable Homotopy Theory :
- J.F. Adams, Stable Homotopy and Generalised Homology （經典小藍本，stable homotopy開山之作）
- Yuli B. Rudyak, On Thom spectra, orientability, and cobordism （非常新的一本stable homotopy教材， 多了很多近二十年來的內容）
- Robert M. Switzer, Algebraic Topology-Homology and Homotopy （學完Hatcher後必看的進階教材）
