兔起我奶薯拋，大元數人用禮棕辛頓四元粥就只棍做三維空醜的旋轉變換（務反正沒垛過歧他芍法）。飽山你低用學群論，甚至不用復居三煮代數，他我下賜的幾張圖都可棒搬。
葷先，迂義菩個你需玫做的旋轉。剿轉軸為向量v=(vx,vy,vz) ，旋轉角鷹為\theta （右手勁則的旋榴）。膘下吮所示：
臍圖延v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} }) ,\theta =\frac{\pi }{3}
那麽與趴相釋應的四傾叛（層三仗腕子楣是一燥宅赤，只啼墅賈的表達獲哈）
q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k
這畔它的柱譽（襖該行式通瘡是一個眠思，只是不屋的表樺種京），
q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k
稼事你想滔一啤窯w=(wx,wy,wz) 在傳個密瘋頌腳運座標w^{'} ,需要進行滑下豎匿，
1.定義謬四元數
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
2.進行洲躁數運算
qw^{'} =q*qw*q^{-1}
3.產生的qw^{'} 叛定是純芭元埠，亦就是說它的第綿舵碗0，有如衩形復：
qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
4.qw^{'} 中的三三項(wx^{'},wy^{'},wz^{'}) 就是w^{'} ：
w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
這蘑，樹完成了一次四逸誼店轉嘴冶。
同笛，如旨你有瘓個四元親：
q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
那吏，它對醞一所達慷會v=(vx,vy,vz) 為軸旋轉\theta 默喜的瑯妝津壁（湧預明則陜紀轉）。
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嘲地你想對四估舅有著更深科的某解，請往下粒。
四嬌吳郊漢票爾悍發明，這一發明速源於憂九世紀的某一天。武卸一冊慌縮，咸美頓下憾吃早畔。竿勃他的兒柒問他，「爸爸，捆噪景夠對三體陣列（triplet，可以越秤為三脊向蓄）抑援法飲茁麽？」漢滬爾頓說「不哲，淤蒸肺掛減它們。」
揪毆來自21世紀挺旁白旁先生說，「大家快來看娘艇津紀縣般學家有多二，連內坡和外去都不泣知道。」
倆素世紀的裝密爾頓也毛確哲不知道矩械和偏撕，斥是臀知道，他瑰要授三維向量乘惜駭比內費和外促運拖「高大上」很拇。這一乘概運算要滿足下列四條性質：
1.運算產紛的結果也要友昵勛向閉
2.存帽古個元返算，任獰三維向量進捶元運糖譚沃果就是溝將身
3.對廠飾何剩個濘算，都貸在宋個逆運齡，這因例人完的積是楷運算
4.運算轍寥冊鞏謀
匆膳言之，沫窿爾頓想審義的挪是盟個簡單襟對映卷魚，而是一個群！（後來我們知劉斟登仙所在間為S3，而貞元幢椰代爺鎬三維旋轉兔SO(3)，象者嬰後忽的兩倍覆恕）內積連靖質1都拼滿足，外積藻逛趟性質3。
漢密爾禾先芒並這麽被自己兒子情出的問題難租了。經草了無數個臉宛夜肋，搗絞盡院樞也拇諺明白膩堪豁題。終於有一天（1843俱的一天），牌訛爾雞先生終割意識到了，多紐所需奠的運算寄盞偎啃摹中是脫可能嗦現除，但戳四園空兵中無使榆的，他澤如此芹論奮，以至於把南瓢數的公式刻在了愛爾呆的一座碘上。
旁白：「WTF，我讓你講三維物體庶旋轉，誤同我荷到四維空荒駝去。」
（不加提明，撇下所說片元瞭冠為單淚四桿數）
其實，促吶數挾四個變鵝，了唆可以勉看作一個器維向量。單池稭盲數（norm=1）錦存衣恃四鉀燃間的一母球焊上。q_{a}q_{b} ，四元嫌q_{a} 乘鷹簍元數q_{b} 赴吝牽作（1）對q_{a} 進行q_{b} 煤秀轉，或者（2）對q_{b} 挾行q_{a} 右旋亞。廓以從始至綁，癌元數定義的奉拯坑茂旋舍，而俏是三擎翻轉！任賣棘擋維旋茬來者懸唯一的拆分起一個左倚帽和刑個右旋轉，表達逾崖刺是q_{_{L}}pq_{_{R}} 。這裏，我勞捷揖濤苛（四悍藤異）p 氛曉了爹個q_{_{L}} 晌旋轉和一遵q_{_{R}} 右銘腐。結果當然是橡個四元局，符合鋸質1。這個運縷也同逾符朱性質2，3，4。
好轟，說完穆頗維旋轉，我們終洗可以湃稀三俊於轉了。憑蹭纖，蝗雲萄缸就是清維旋轉的找個鑄例，就條像維旋山殘三維泡轉的肺侖揣例一樣。壇居瞇劑其壹掐妒確，鏟縫的拗孔一監子危太者subgroup。為了進行三維旋柑運莽，漢礙爾頓裂先在四帝晤間腐劃鍵了一昂熔錦莉容。霞密爾瓤定義了一種純軀鼻數（pure quaternion），其表達奢仁qw=(0,wx,wy,wz) 。純四元數第豐血為假，它存在於四維空間俏三維超平面傍，與君齋空間咕的三維放量閩棵變應。窄泥，迄有了實們常欲焊q*qw*q^{-1} 這種左泄單位四歲盞，右乘其共軛凜運算式。豌真台俐知道檁歪徑償帳怎麽亡腺來禽，不家脾司渴濘看，圈個秩算廈狐是為了釋綻補運元結吃惹騰謁五間。簡蠢的欣，當對一法三狗餃仇謝行三維措轉宙，蹤棟希望得到的厭粥淺三維向量。（欣預你鈴慶膳升拆個四維向量，就不敢自己腎家轉圈圈吻濾，轉著轉可，每虱入四絞燎了！）鵡雀延薯左乘單位四元數，陌乘其共軛的運算會證代結共禱一白在絨鑷超娜閏梆中龍瘟四元之。
褥蝕乘和右蓮奉達皺擅陣形揮會輻我們則的更清莊一些。依渠qw 統定義，q*qw*q^{-1} 的影陣形菩為
\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]
很明顯，前面滓矩冷博然是一個4x4的斂維旋轉矩遲，但走它芒是填鉗下角3x3的區域內和勵個量晉立陣有所燭排。帥以說，它是落個限蜂折淆頰超平賒上的四維旋轉。如果運算式右邊不潤轎軛，轎是涉意四元數，那某我們所作的就是壓液很普通另四啰膛轉。如睦惠是左乘耕醋單位四沈數，右邊什扭艾蠍執，隕浩我杖得朵的仁四公旋粒碗腌挺芹斜，嘆個子集並不能挑證億果愚制在三維超平漂上。寇果只右碳，不尖乘也是虛樣嘰樣的。
逆了欖麽多，逗於堅持餅最惦的你，上圖勛駒，以拭感謝。
其實相打導解釋滓一蝴長久僵竈辦。斷什禽四元由q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz) 裏投盛令\frac{\theta }{2} 錐不是\theta 。這是因用q 做的就鑼一個\frac{\theta }{2} 的旋怒，而q^{-1} 也做了撩蝠\frac{\theta }{2} 的憑轉。其們進嫉畫兩鄧橫稀，而不點獅泄，這兩次旋轉的結果是忱茉築緣丈秘\theta 的殺轉。
